Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини :
,
де — дійсний параметр.
Якщо — функція розподілу , то
У випадку дискретного розподілу
(ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу
(перетворення Фур'є)
Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини
Коли випадкова величина дискретна, тобто , то .
Приклад. Нехай має розподіл Бернуллі. Тоді .
Коли — це абсолютно неперервна випадкова величина, тобто має щільність , то .
Приклад. Нехай має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді .
Властивості характеристичних функцій
Для будь-якої характеристичної функції
,
Якщо з константами і , то ( — характеристична функція ).
Якщо є раз диференційованою по , то при
є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.
Якщо - незалежні випадкові величини, та - деякі константи, тоді
Характеристична функція є самоспряженою:
Випадкова величина є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція є дійснозначною.
Формули перетворення і теорема єдиності
Нехай — функція розподілу, а — характеристична функція випадкової величиини . Якщо , — точки неперервності , то
Якщо — неперервна, а — густина , то спрощується
Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.
з формули перетворення () випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.
Якщо, наприклад, якимось чином для отримано характеристичну функцію , то, згідно з теоремою єдиності і
Гранична теорема для характеристичних функцій
Послідовність функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу , якщо у всіх точках неперервності
У дискретному випадку збіжність в основному до , означає, що відповідні функції збігаються: для всіх .
У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо неперервні) для всіх .
Якщо послідовність функції розподілу збігається в основному до функції розподілу , то послідовність відповідних характеристичних функцій збігається до — характеристичної функції . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.
Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій збігається до неперервної функції , то послідовність відповідних функцій розподілу збігається до деякої функції розподілу і є характеристичною функцією ).
Твірні функції
У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.
Нехай є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини вказаного типу, а — комплексний параметр. Тоді
називається твірною функцією випадкової величини . Функція — аналітична в . Її границя при дає характеристичну функцію .
Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.
Характеристичні функції багатомірних випадкових величин
Під характеристичною функцією -мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини :
,
де , — дійсні параметри.
Характеристичні функції випадкових величин із значеннями в локально компактній абелевій групі
Нехай — локально компактна абелева група, — її група характерів, — значення характеру на елементі . Нехай — випадкова величина із значеннями в , а — її розподіл. Характеристична функція випадкової величини (розподілу ) задається формулою
Див. також
Твірна функція моментів Генератриса (твірна функція) Генератриса цілочисельної випадкової величини
Джерела
Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. — New York — London : Academic Press, 1967. — 276 p.