Колива́ння — специфічні рухи або зміни стану систем різної фізичної природи (механіка, фізика, біологія, хімія, економіка та ін.) для яких спостерігається певна повторюваність у часі. В багатьох випадках для опису коливальних процесів використовуються близькі за змістом поняття — вібрація, осциляція. Коливальні процеси характерні для величезної кількості явищ в навколишньому світі та в людському суспільстві. Коливальний процес в будь-якій системі виникає лише тоді, коли її будова забезпечує виникнення сил, що намагаються повернути систему до стабільного стану при внесенні зовнішніх збурень. Такі сили називають відновлювальними.
Специфіка коливальних процесів виражається в тому, що зміни стану системи відбуваються в околі певного стабільного (статичного або динамічного) стану. Найпростіший приклад — поведінка вантажу на пружині, яку показано на наведеній анімації. Тут зміна стану (положення) маси відбувається навколо положення статичної рівноваги. Складнішим є коливальний процес, який реалізується при русі автомобіля (поїзда) по нерівній дорозі. В цьому випадку можна говорити про коливання відносно уявного стану автомобіля, що рухається по ідеальній дорозі. Якщо при коливаннях спостерігається постійне повернення системи до початкового стану через певний проміжок часу — період Т, то коливання називають періодичними. В закономірностях коливальних процесів є багато спільного незалежно від фізичних властивостей складових коливальної системи. Саме ця обставина зумовила формування такої наукової дисципліни як Теорія коливаньМандельштам Л. И., Лекции по теории колебаний, Москва, Наука, 1972, 470 с. .. Вивчення теорії коливань є важливою складовою фундаментальної підготовки інженерів багатьох спеціальностейМеханічні коливання і хвилі. Конспект лекцій, Суми, Вид-во Сум ДУ, 2007, 75 с. ..
У випадку, якщо система складається з фізичних тіл, і її стан описується координатами і швидкостями цих тіл (прикладом такої системи є маятник), такі коливання називають механічними.
Типи коливальних систем При математичному моделюванні поведінки коливальних систем різної фізичної природи перш за все відповідно до поставленої задачі визначають кількість незалежних параметрів, необхідних для описання поведінки коливальної системи. Так, наприклад, при моделюванні найпростішої коливальної системи — тіло на пружині зазвичай вважають, що тіло недеформівне і пружина не має маси. Для показаного на рисунку випадку також зроблено припущення про відсутність демпфування, що визначає незатухаючий характер коливань. В цьому випадку для повного опису поведінки системи достатньо знання залежності від часу функції , що визначає відхилення тіла від положення рівноваги. Для ілюстрації поведінки коливальних систем з одним ступенем вільності часто використовують модель математичного маятника. На відміну від системи з пружиною, в якій припускається лінійна залежність відновлювальної сили від переміщення, в моделі математичного маятника діє реальна сила земного тяжіння і рівняння руху маятника є нелінійним. На рис.2 зображена модель складнішої системи. Для повного опису її поведінки уже необхідно знати зміну в часі двох величин і , що визначають відхилення кожного тіла від положення рівноваги. Така система є системою з двома степенями вільності. В загальному випадку в теорії коливань виділяють окремо системи зі закінченим числом степенів вільності. Детальний аналіз коливань в системі, представленій на рис.2, проведено в посібникуГрінченко В. Т., Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — ISBN 978-966-00-0622-5 . Саме при аналізі коливань такої двомасової системи зустрічаємося з фундаментальною властивістю коливальних систем. При довільних значеннях фізичних параметрів в даній системі можуть реалізуватися два періодичних рухи з певними частотами і . Ці періодичні коливання називаються нормальними коливаннями, а відповідні частоти власними частотами нормальних коливань. Такі нормальні коливання, які існують для систем з довільним числом ступенів вільності, відіграють надзвичайно важливу роль в теорії коливань. Аналіз загальних випадків початкових умов показує, що при будь-яких початкових умовах коливання в системі завжди можна представити як суперпозицію двох нормальних коливань. Цей факт є проявом загальної властивості нормальних коливань для всіх коливальних систем.
В фізиці дуже часто при математичному моделюванні поведінки різних систем використовують поняття суцільного середовища. При аналізі коливальних процесів в таких системах маємо справу з системами з нескінченним числом степенів вільності або системи з розподіленими параметрами. Принципова відмінність математичного опису поведінки таких систем полягає в тому, системи зі скінченним числом степенів вільності описуються системами звичайних диференціальних рівнянь, а для опису системи з розподіленими параметрами формулюються рівняння в частинних похідних. В залежності від умов роботи системи часто одна і та ж фізична система може моделюватися, як система зі скінченним числом степенів вільності, так і як система з розподіленими параметрами. Якщо маса пружини для системи на рис.1 буде співмірна з масою тіла, то таку систему уже слід розглядати як систему з розподіленими параметрами. Найпростішим прикладом такої системи є струна, яка розглядається нижче.
Види коливань При аналізі взаємодії коливальної системи з джерелом збурень виділяють вільні і вимушені коливання. Для вільних коливань характерно, що зовнішнє джерело збурень викликає лише певне початкове відхилення системи від рівноважного стану і надалі система здійснює вільні рухи. Якщо силові чи кінематичні збурення постійно діють на систему за час спостереження то коливання, що виникають в ній називають вимушеними. В залежності від наявності механізму розсіяння енергії власні коливання системи можуть бути затухаючими або не затухаючими. Наявність незатухаючих коливань є наслідком нехтуванням при побудові математичної моделі важливою властивістю реальних коливальних систем. Незатухаючі коливання можуть існувати в системах з демпфування, що знаходяться під постійною дією зовнішніх сил. Такі коливання можуть бути і не періодичними, як, наприклад, коливання автомобіля при їзді по нерівній дорозі. Принципова різниця існує між детермінованими та стохастичними коливаннями. Якщо для перших можливо вказати стан системи в будь-який момент часу, то для систем стохастичних цього зробити неможливо. Прикладом таких стохастичних коливань є тільки що вказані коливання автомобіля або коливання середньої температури повітря за значний проміжок час. Експериментальні дані про характер таких коливань показано на рис.3. Відновлююча сила та інші силові фактори, що діють на коливальну систему можуть мати різну залежність від переміщень та швидкостей точок в системі. В залежності від цього розрізняють лінійні та нелінійні коливання.
Системи з одним ступенем вільності
Вільні коливання без демпфування
Незгасаючі механічні коливання виконуватиме система, що складається з тіла масою m і пружини, яка повертає тіло до положення рівноваги. Таку систему називають пружинним маятником (рис.1).
Якщо вивести тіло з положення рівноваги, відхиливши його на відстань х, то воно набуде потенціальної енергії, що дорівнює роботі розтягання пружини. Відпустивши тіло, ми даємо йому змогу повернутися в початкове положення рівноваги. У цьому положенні вся потенціальна енергія перейде в кінетичну, тіло за інерцією продовжуватиме рух, стискаючи пружину і виконуючи роботу стискання. Коли всю кінетичну енергію буде витрачено на роботу стискання, тіло зупиниться, набувши потенціальної енергії. А це означає, що процес перетворення кінетичної енергії в потенціальну, і навпаки, буде відбуватися як завгодно довго, тобто тіло виконуватиме незгасаючі коливання від -х до +х.
Рівняння коливань, тобто рівняння, що описує залежність зміщення х від часу t, можна, знайти використовуючи закони механіки. За другим законом динаміки швидкість зміни імпульсу дорівнює сумі всіх сил, які діють на тіло:
Надалі знаки векторів можна не записувати, оскільки рух одновимірний. Тіло вважатимемо матеріальною точкою з масою m. У нашому випадку діє єдина сила — пружна повертаюча сила Fпр. Згідно із законами Гука при малих зміщеннях сила пружності прямо пропорційна до зміщення: Fпр = -kx
Знак «мінус» означає, що сила направлена в бік, протилежний зміщенню. Коефіцієнт пропорційності k називається коефіцієнтом жорсткості пружного елемента. Маса m стала, і тому
або
Поділивши обидві частини рівняння на масу m і позначивши
дістанемо диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань
.
Загальний розв'язок цього лінійного диференційного рівняння другого порядку відомий:
Цей розв'язок має дві довільні величини та , які визначаються початковими умовами і називаються амплітудою і фазою коливань. На відміну від цих двох інтегральних характеристик коливального руху системи величина частоти, що характеризує закон зміни стану системи в часі, не залежить від зовнішніх факторів і визначається виключно внутрішніми властивостями системи (масою та жорсткістю пружини). Саме тому така частота називається власною частотою системи. Приведене диференційне рівняння є математичною моделлю для опису поведінки коливальних систем різної фізичної природи. Узагальнено систему, поведінка якої описується цим рівнянням називають гармонічним осцилятором.
Вільні коливання з демпфуванням
Механізми розсіяння енергії в коливальних системах можуть бути різними і, відповідно, будуть різними і співвідношення, що визначають як функції параметрів системи. Найчастіше при моделюванні коливальних процесів використовують модель в'язкого опору, коли сила опору пропорційна швидкості руху і направлено протилежно швидкості. В цьому випадку в правій частині рівняння(1) слід ввести складову . Тепер рівняння руху для системи з одним ступенем вільності має вигляд
В залежності від величини опору при постійних інших параметрах системи поведінка системи в процесі повернення до положення рівноваги після початкового збурення буде принципово відрізнятися. На рис. 4 показано процес повернення системи при різних силах опору. Тут використано посудини з в'язкими рідинами, причому в'язкість правої посудини суттєво (в тричі) більша. На графіках показано зміну в часі величини відхилення вантажу на пружині. Власне коливальний процес спостерігається лише для відносно малої в'язкості. Така поведінка вантажу визначається розв'язками рівняння (4), яке після поділу на величину маси представлено в вигляді
В залежності від відносної величини демпфування в системі будуть реалізовуватися різні типи рухів.
Формальний загальний розв'язок рівняння (5) можна представити в вигляді
Тут та довільні сталі, що визначаються початковими умовами. Розв'язок в такому вигляді має фізичний зміст лише при умові, що .В цьому випадку в системі відсутній коливальний рух. Після певного початкового збурення система повертається до положення рівноваги зі зменшенням відхилення в часі по експоненціальному закону. В цьому випадку говорять, що система має надкритичне демпфування. Випадок це випадок критичного демпфування. Поведінку системи з критичним та надкритичним демпфуванням показано на другому та третьому графіку на рис.4. Для випадків докритичного демпування з використанням Формули Ейлера загальний розв'язок рівняння (5) представляється у вигляді
Якщо коливання системи зумовлені початковим відхиленням системи від стану рівноваги при нульовому значенні початкової швидкості довільні сталі та визначаються як
Зміна стану системи, що описується виразом (7), не є періодичним процесом (Див. рис 4, випадок . Однак, враховуючи факт, що проміжок часу між моментами проходу системи через положення рівноваги є постійним приймають, що визначена ним частота є власною частотою системи з демпфуванням.
Вимушені коливання системи без демпфування