В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.
Загальне твердження
В кожному гільбертовому просторі , ортонормована система векторів утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам: Довільний вектор може бути записано у вигляді:, де (k = 1, 2, …) Для будь-якого вектора (рівність Персеваля) Для довільної пари векторів та Ортонормована система u1, u2, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору . Для довільного вектора із (uk, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.
З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.
Зауваження Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами âk то ǁa − a' ǁ = 0 (теорема єдиності).
Див. також
Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі Векторний простір
Примітки
Джерела