Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.
Означення
Поповнення кільця щодо ідеалу Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.
Нехай кільце і ідеал. Позначимо
Послідовність називається нульовою, якщо для всіх існує число , таке що
Позначимо ідеал всіх нульових послідовностей.
Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх існує число , таке що:
Позначимо кільце всіх фундаментальних послідовностей.
Фактор-кільце називається поповненням за .
Якщо то послідовність є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм
Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:
Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).
Кільце називається повним (по відношенню до ), якщо є ізоморфізмом.
Поповнення модулів Фільтрацією модуля над кільцем називається послідовність така, що:
Найважливішим частковим випадком є послідовність для деякого ідеала . Ця фільтрація називається -адичною.
Ввівши модуль послідовностей і використовуючи замість можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля щодо фільтрації чи, в окремому випадку щодо ідеала .
Модуль називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення: є ізоморфізмом.
Альтернативні означення
Як поповнення метричного простору Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай кільце і ідеал. Тоді на можна задати псевдометрику:
Якщо до того ж виконується:
то функція є метрикою, тобто додатково
До метричного простору можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.
За допомогою проективних границь Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними де гомоморфізми визначені як
Проективною границею цієї системи називається кільце:
Якщо тепер ідеал і позначивши
— природний гомоморфізм кільця у його фактор-кільце , отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:
Властивості Нехай і — кільця і і — ідеали. Якщо — гомоморфізм кілець для якого , то можна визначити гомоморфізм Нехай — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і його поповнення. Тоді: ( позначає розмірність Круля кільця) є регулярним, якщо і тільки якщо таким є . Теорема Коена про структуру: якщо регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то: де є полем лишків кільця . Поповнення кільця Нетер є плоским модулем над . Якщо — кільце і — скінченнопороджений модуль над кільцем то відображення є сюр'єктивним. Якщо додатково є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією . Зокрема для деякого ідеала у нетеровому кільці звідси випливає Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного розглядати модуль з індукованою фільтрацією, то є підмодулем і також Для поповнення ідеала у нетеровому кільці (щодо -адичної фільтрації) справедливими є твердження: Також є підмножиною радикала Джекобсона кільця Нехай є -модулем і — задана на ньому фільтрація. Тоді (де означені як і вище) є фільтрацією модуля і для цієї фільтрації Нехай
коротка точна послідовність -модулів і — фільтрація модуля . Нехай і — індуковані фільтрації на модулях і Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність
Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця:
Приклади
Формальний степеневий ряд Якщо є кільцем многочленів над полем і ідеал породжений елементами
Поповнення кільця за ідеалом є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів
Р-адичні числа р-адичні числа є поповненням поля щодо -адичної метрики (де — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел і маємо
де і і не ділить жодне з чисел Тоді
Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо -адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу . Таким чином, ми отримуємо вкладення: . Тут, ліва сторона позначає поповнення за . Це вкладення задає ізоморфізм з кільцем -адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу .
Геометричний Приклад
Нехай плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням
У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою . Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом де
і
Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.
Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.
Інтерпретація в алгебричній геометрії У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки і на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди і є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.
З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.
Див. також Локалізація кільця
Література Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411 Ernst Kunz, «Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry», Birkhauser 1985, Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9 Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9