Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.
Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.
Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення відповідає оператор народження .
Ферміони
Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан , який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією : .
Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки , знищує частинку, переводячи систему в стан . .
Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль .
Відповідно, дія оператора народження на стан , теж дає нуль. .
Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню .
Оператор числа частинок задається виразом .
Вочевидь
Різні стани Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.
Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис . Оператори народження й знищення і для різних станів комутують між собою. при .
Будь-який квантовомеханічний оператор можна записати у вигляді ,
де — матричний елемент оператора.
Гамільтоніан Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану : .
Розбиваючи гамільтоніан на дві частини: ,
й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як
Бозони
Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.
Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану можна ввести оператор кількості частинок , виходячи із співвідношення .
Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів .
Нульовий (вакуумний) стан відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження .
Відповідно, .
З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням .
Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.
Гамільтоніан поля має вигляд ,
де — зведена стала Планка, — хвильовий вектор, — частота хвилі з хвильовим вектором . Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.
Джерела