В абстрактній алгебрі централізатором підмножини групи називається множина елементів , які комутують з кожним елементом . Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.
Означення Групи і напівгрупи Централізатором елемента групи (або напівгрупи) називається множина
.
Для деякої підмножини групи (або напівгрупи) подібним чином можна ввести означення централізатора множини
.
Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі Якщо — кільце або алгебра, а — підмножина кільця, то централізатором називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.
Якщо — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини алгебри рівний
для всіх
Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо — асоціативне кільце, то для можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину із цим добутком як , то централізатор кільця у збігається з централізатором кільця Лі множини в .
Властивості
Напівгрупи Нехай позначає централізатор множини у деякій напівгрупі. Тоді : утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом. .
Групи Централізатор довільної підмножини є підгрупою . Із рівності для всіх елементів групи випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай , тоді , тому . Нарешті домноживши рівність де зліва і справа на отримаємо рівність і тому . Централізатор завжди є нормальною підгрупою нормалізатора . Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер . Тоді , де — такий елемент, що і відповідно (існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо , що завершує доведення. завжди містить множину , проте не обов'язково містить . Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких і t з множини , зокрема якщо є абелевою підгрупою у . Централізатор підмножини є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною. Для довільного елемента групи Для довільного елемента групи . З принципу симетрії, якщо і є двома підмножинами у , тоді в тому і тільки в тому випадку, коли . Для підгрупи групи фактор-група є ізоморфною підгрупі , групі автоморфізмів групи . Якщо задати гомоморфізм груп , як , то можна описати в термінах дії групи на : підгрупа , яка фіксує усі елементи є рівною . Нехай і є групами, — підгрупа і — гомоморфізм з у . Тоді . Якщо також є ізоморфізмом то . Якщо є характеристичною підгрупою групи то і є характеристичною підгрупою. Якщо є нормальною підгрупою групи то і є нормальною підгрупою.
Кільця і алгебри Лі Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно. Нормалізатор в кільці Лі містить централізатор . містить множину , але не обов'язково збігається з нею.
Примітки
Див. також Норма (теорія груп) Нормалізатор Центр групи
Література