В абстрактній алгебрі нормалізатором підмножини групи називається множина елементів , які комутують загалом із підмножиною , але не обов'язково з кожним її елементом, як у випадку централізатора. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.
Означення Групи і напівгрупи Нормалізатором підмножини в групі (або напівгрупі) за означенням називається підмножина
Означення відрізняється від означення централізатора тим, що в даному випадку не повинно обов'язково бути , але для кожного має існувати такий , що .
Нормалізатор підмножини алгебри Лі (або кільця Лі) задається рівністю для всіх Хоч це означення є стандартним для терміна «нормалізатор» в алгебрі Лі, слід зауважити, що ця конструкція є фактично ідеалізатором множини в .
Властивості
Групи Нормалізатор довільної множини є підгрупою . Централізатор завжди є нормальною підгрупою нормалізатора . Якщо є піднапівгрупою у , то містить . Якщо є підгрупою , то найбільша підгрупа, в якій є нормальною, це . Індекс нормалізатора є рівним кількості класів спряженості для множини , тобто . Якщо задати гомоморфізм груп , як , то можна описати в термінах дії групи на : стабілізатором у () є .
Кільця і алгебри Лі Якщо — адитивна підгрупа , то є найбільшим підкільцем Лі (або підалгеброю Лі), в якій є ідеалом Лі. Якщо — підкільце Лі кільця Лі , то .
Примітки
Див. також Норма (теорія груп) Нормальна підгрупа Централізатор
Література