У математиці відносно компактною підмножиною топологічного простору називається підмножина, замикання якої є компактною множиною. Множина із індукованою топологією також називається відносно компактним підпростором простору . Іноді також використовується термін предкомпактна множина чи простір але ці терміни використовуються і в інших значеннях.
Приклади і властивості Оскільки замкнуті підмножини компактного простору є компактними, кожна підмножина компактного простору є відносно компактною. У випадку метричної топології або, загалом, коли послідовності можуть бути використані для перевірки на компактність, критерієм відносної компактності є те, що будь-яка послідовність у має підпослідовність збіжну в . Повний метричний простір є відносно компактним тоді і тільки тоді, коли він є цілком обмеженим. Підмножина у скінченновимірному евклідовому просторі просторі є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою. У гаусдорфому просторі підмножина є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій компактній підмножині простору. В одну сторону доведення очевидне. Нехай тепер X — гаусдорфів простір і компактна множина у для якої . Оскільки в гаусдорфових просторах кожна компактна множина є замкнутою то є замкнутою підмножиною . Оскільки є замкнутою множиною, що містить , то . Оскільки кожна замкнута підмножина компактної множини є компактною, то є компактною.
Окіл особливої точки нескінченного простору з точковмісною топологією може бути компактним, але не є відносно компактним, оскільки його замикання є рівним цілому простору, що не є компактним. Теорема Асколі — Арцела. Для того, щоб сім'я неперервних функцій визначених на відрізку була відносно компактною в необхідно і достатньо, щоб ця сім'я була рівномірно обмеженою та рівностепенево неперервною У комплексному аналізі велике значення має поняття нормальної сім'ї функцій, яка є відносно компактною множиною функцій щодо компактно-відкритої топології.
Див. також Компактний простір
Джерела