В теорії категорій множини Hom (тобто множини морфізмів між двома об'єктами локально малої категорії) дозволяють визначити важливі функтори в категорію множин. Ці функтори називаються функторами Hom і мають численні застосування в теорії категорій та інших галузях математики.

Означення Нехай C — локально мала категорія. Тоді для будь-яких її об'єктів A, B визначено такі два функтора: Hom(A,–) : C → SetHom(–,B) : C → SetКоваріантний функтор, що задається як:

Hom(A,-) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(A,X) Hom(A,-) відображає кожен морфізм f: X → Y у функцію Hom(A, f): Hom(A, X) → Hom(A,Y), що задається як для кожного g в Hom(A, X).Контраваріантний функтор, що задається як:

Hom(-,B) відображає кожен об'єкт X категорії C у множину морфізмів Hom(X, B) Hom(-,B) відображає кожен морфізм h: X→Y у функцію Hom(h, B): Hom(Y,B) → Hom(X,B), що задається як для кожного g в Hom(Y,B). Функтор Hom(-,B) також називають функтором точок об'єкта B.

Функтори Hom(A,–) і Hom(–,B) пов'язані між собою у натуральний спосіб. Для будь-якої пари морфізмів f : B → B′ і h : A′ → A діаграма нижче комутує:

В обох випадках g : A → B переводиться у f ∘ g ∘ h.

Також можна визначити біфунктор Hom(-, -) з C×C в Set, контраваріантний по першому аргументу і коваріантний по другому або, еквівалентно, функтор

Hom (-, -): Cop × C → Set

де Cop — двоїста категорія до C.

Внутрішній функтор Hom У деяких категоріях можна ввести функтор, який схожий з функтором Hom, але значення якого лежать в самій категорії. Такий функтор називають внутрішнім функтором Hom і позначають

Категорії, що допускають внутрішній Hom-функтор, називаються замкнутими категоріями. Функтор в таких категоріях переводить внутрішній функтор Hom у зовнішній. Точніше,

де позначає натуральний ізоморфізм, натуральний за обома «аргументами». Оскільки в замкнутій категорії (тут I — одиниця замкнутої категорії), це можна переписати як

У випадку замкнутої моноїдальної категорії це означення можна розширити до так званого каррінгу, тобто ізоморфізму

де це .

Пов'язані означення

Функтор виду Hom (-, C): Cop → Set є передпучком; відповідно, Hom(C, -) можна називати копередпучком. Функтор F: C → Set, який є натурально ізоморфним Hom (X, -) для деякого об'єкта C називається зображуваним функтором. Hom (-, -): Cop×C → Set є профунктором, а саме тотожним профунктором . Внутрішній функтор hom зберігає границі; а саме, переводить границі в границі, а — границі в кограниці. У певному сенсі, це можна вважати визначенням границі або кограниці. Функтор Hom — приклад точного зліва функтора.

Див. також

Лема Йонеди

Література

Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. Москва: Мир, 1972. 259 с. Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — Москва: Наука, 1974.