Індикатриса Дюпена або індикатриса кривини — плоска крива на дотичній площині до поверхні, яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці. Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена, що вперше застосував її до дослідження поверхонь у 1813 році.
Означення і властивості
Індикатриса Дюпена лежить у площині, дотичній до поверхні в точці , і є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки в напрямку в дотичній площині, що мають довжину, рівну , де — абсолютна величина нормальної кривини поверхні в точці в напрямку .
Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд
де — вектор дотичної площини, — друга фундаментальна форма поверхні , в точці а — відображення Вейнгартена.
Позначивши — головні напрямки кривини, тобто власні вектори відображення Вейнгартена (вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини), якщо рівняння індикатриси можна записати як:
тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік.
Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці, що наближаються до даної площини при певній нормалізації. А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x, y відкладено по головних напрямках дотичної площини, а z у напрямку додатної нормалі до точки. Тоді в деякому околі точки поверхня задається як для деякої диференційовної функції h. Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати, що де Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною для достатньо малого отримаємо рівняння кривої Використавши заміну змінних це рівняння перепишеться до того ж прямуватиме до нуля при прямуванні до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена.
Вигляд індикатриси для різних типів точок
Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки. Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки (тобто напрямки задані векторами для яких :
Якщо — еліптична точка поверхні, тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом, напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні.
Зокрема якщо є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом. Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб.
Якщо — гіперболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина є від'ємною, то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній. Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні.
Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків, кожен із яких є спряженим сам із собою.
Якщо — параболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина дорівнює нулю, але середня кривина не дорівнює нулю, то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих, спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні.
Див. також
Гіпербола Друга квадратична форма Еліпс Кривина (математика)
Література
Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Київський університет, 2004. — 68 с.