У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.

Означення

Нехай — кільце. Воно називається редукованим якщо для кожного

Для комутативних кілець еквівалентно можна сказати, що кільце є редукованим, якщо його нільрадикал є нульовим ідеалом:

Еквівалентно, кільце є редукованим якщо для всіх :

Приклади

Кільце цілих чисел і кільце многочленів над будь-яким полем є редукованими. Більш загально будь-яка область цілісносні є редукованим кільцем. Для будь-якого комутативного кільця R, кільце є редукованим. Більш загально кільце є редукованим тоді і тільки тоді, коли ідеал I є радикальним, тобто . Кільце містить ненульовий нільпотентний елемент і тому не є редукованим. Натомість кільце є редукованим і є прикладом редукованого комутативного кільце, що не є областю цілісності. В загальному випадку є редукованим тоді і тільки тоді, коли n = 0 або n є натуральним числом вільним від квадратів. Кільце не є редукованим, оскільки ненульовий елемент є нільпотентним. Кільця матриць над будь-яким кільцем не є редукованими. Наприклад для матриць порядку 2 над будь-яким кільцем з одиницею Комутативне кільце R характеристики p є редукованим тоді і тільки тоді, коли його ендоморфізм Фробеніуса є ін'єктивним.

Властивості

Будь-яке редуковане кільце є напівпростим (тобто з того, що Jk = {0} для деякого ідеалу J випливає, що J = {0}). Для комутативних кілець поняття редукованості і напівпростоти є еквівалентними. Натомість існують некомутативні кільця що є напівпростими але не редукованими. Зокрема, як описано в прикладах, кільце квадратних матриць над будь яким кільцем не є редукованим. Натомість двосторонні ідеали кільця мають вид де I — двосторонній ідеал кільця Rhttps://math.stackexchange.com/q/45061, а тому якщо то і II = 0. У випадку напівпростого кільця звідси I = 0 і тому Тобто кільця квадратних матриць над напівпростими кільцями є напівпростими але не редукованими. Підкільця, добутки, локалізації (у комутативному випадку) редукованих кілець є редукованими кільцями.

У випадку локалізації за мультиплікативною множиною S ненульовий елемент r/s де буде нільпотентним тоді і тільки тоді коли для деяких Але тоді tr є нільпотентним елементом у R. До того ж tr не є нульовим оскільки тоді б r/s був нульовим елементом у локалізації. Якщо всі локалізації за максимальними ідеалами комутативного кільця R є редукованими, то R теж є редукованим. Припустимо x є ненульовим елементом в R і xn=0. Анігілятор ann(x) міститься в деякому максимальному ідеалі . Образ елемента x є ненульовим в локалізації кільця R за ідеалом оскільки в іншому випадку для деякого і належить анігілятору x, всупереч означенню . Тому локалізація R за не є редукованим кільцем.

Множина D дільників нуля у комутативному редукованому кільці є рівною об'єднанню мінімальних простих ідеалів.

Нехай  — множина (можливо порожня) мінімальних простих ідеалів. Нехай x є дільником нуля тобто xy = 0 для деякого ненульового y. Оскільки R є редукованим, то (0) є перетином усіх і тому y не належить деякому . Оскільки натомість xy належить усім то x є елементом . Нехай . S є мультиплікативною множиною і тому можна розглянути локалізацію . Позначимо прообраз максимального ідеалу. Тоді є підмножиною D і і з мінімальності .

Для загального (не обов'язково комутативного) редукованого кільця R будь-який мінімальний простий ідеал I є сильно простим, тобто R/I є цілісним кільцем. Кільце R є редукованим, тоді і тільки тоді, коли воно є підпрямим добутком кілець цілісності, тобто воно є ізоморфним деякому підкільцю прямого добутку кілець для якого усі проєкції на є сюр'єктивними.

Редукована схема Схема називається редукованою, якщо для кожної відкритої множини кільце є редукованим. Еквівалентно якщо для кожної точки локальне кільце

є редукованим.

Якщо всі локальні кільця X є редукованими і для елемента виконується рівність то образ у є рівним нулю для всіх і тому теж є рівним нулю у всіх цих кільцях. З означення схеми звідси випливає, що

Навпаки, якщо є редукованим для всіх відкритих підмножин і ненульового то для будь-якого представника елемента з означення локального кільця, елемент є ненульовим і тому не є нільпотентним. Звідси теж не є нільпотентним у Звідси випливає еквівалентність двох означень редуковності схем.

Зокрема афінна схема є редукованою тоді і тільки тоді коли кільце R є редукованим.

Примітки

Див. також

Нільрадикал Нормальне кільце Область цілісності

Література