Брамагу́пта (; 598 — 668) — давньоіндійський математик і астроном, автор важливих праць із математики та астрономії а саме: теоретичний трактат «Брахма-спхута-сіддханта» («Brāhmasphuṭasiddhānta»; може перекладатись як «Удосконалене вчення Брахми» чи «Перегляд системи Брами»), завершений у 628 році, та більш практичний текст «Кхандакхадьяка» («Khaṇḍakhādyaka»), який побачив світ у 665 році. Трактати написано у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків. Ці праці справили значний вплив на розвиток астрономії у Візантії та ісламських країнах, поклавши початок використанню алгебраїчних методів для астрономічних обчислень.
Життєпис Вважають, що Брамагупта народився у 598 році. Це випливає з книги «Брахма-спхута-сіддханта», у якій він повідомляє, що написав цей текст у тридцятирічному віці у 628 році (Śaka 550). Народився у Бгілламалі (тепер місто у штаті Раджастхан на північному заході Індії). Він був сином Джиснугупти, за релігією був шиваїтом і працював в Удджайні, місті котре було осередком тогочасної індійської науки.
Ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бгілламалі під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха, тому його нерідко називають Бгілламакар'я (вчитель з Бгілламали). Бгілламала була столицею Гурджарадеси, другого за величиною королівства Західної Індії, яке охоплювало південний Раджастхан і північний Гуджарат у сучасній Індії. Вона також була центром вивчення математики та астрономії. Брамагупта став астрономом школи Брахмапакша, однієї з чотирьох основних шкіл індійської астрономії того періоду.
Наразі немає даних щодо його освіти або вчителів, але відомо, що він вивчав п'ять традиційних Сиддхант з індійської астрономії. Ресурси, якими він користувався, також включали праці Аріабгата I, Латадева, Прадюмна, Варахаміхіра, Сімха, Срісена, Війаянандіна і Віснукандра. Проте, він ставився до них доволі критично.
У 628 році, у віці 30 років, склав «Брахма-спхута-сіддханта» («Покращений трактат Брахми»), який вважається переглянутою та відредагованою версією Сиддханти школи астрономії Брахмапакша. Вчені стверджують, що він вніс багато оригінальних ідей у свою редакцію, додавши значну кількість нового матеріалу. Книга складається з 24 розділів і містить 1008 віршів у метрі арія. Значна частина книги присвячена астрономії, але вона також містить ключові розділи з математики, включаючи алгебру, геометрію, тригонометрію та алгоритміку, які, як вважається, містять нові ідеї та рішення завдяки Брамагупті.
Пізніше Брахмагупта переїхав до Удджайну, великого центру астрономії в центральній Індії. Керував астрономічною обсерваторією в Удджайні. Обсерваторія, у якій також працював Варагамігіра, була найкращою в тогочасній Індії.
У 665 році, у віці 67 років, він склав свою наступну відому роботу «Кхандакхадьяка», практичний посібник з індійської астрономії в категорії Карана, призначений для використання студентами.
Брахмагупта помер у 668 році н.е., вважається, що це сталося в Удджайні.
Внесок у математику
Арифметика
Уведення поняття нуля В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання від числа цього самого числа. Він одним з перших установив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні — як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою: Ділення нуля на нуль є нулем; Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику; Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.
Тотожність Брамагупти
Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів сам є сумою двох квадратів, причому двома способами:
Наприклад,
Геометрія
Теорема Брамагупти
Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частиниMichael John Bradley The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Publisher Infobase Publishing, 2006. — P 70, 85. — ISBN 0816054231.
Формула Брамагупти
Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює
Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:
де a, b, c — сторони трикутника, , та — його висоти.
Задача Брамагупти
Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонамиПрасолов В. В. Задачи по планиметрии, в 2-х ч. — М.: Наука, 1986.. Один із розв'язків використовує кола Аполлонія.
Алгебра
Розв'язування квадратних рівнянь Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду . При цьому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім можуть бути від'ємними. Сформульоване правило за своєю суттю збігається зі сучасним.
Інтерполяційна формула Брамагупти У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях. Формула дає оцінку значення функції при значенні її аргумента (при та ), коли її значення вже відоме в точках , та . Вона записується так:
де — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто
Внесок в астрономію Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти «Брахма-спхута-сіддханта». Халіф Аль-Мансур (712—775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канака, який викладав індійську систему астрономії на основі «Брахма-спхута-сіддханта». На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти арабською мовою.
Астрономічні відомості Брамагупти, викладені в «Брахма-спхута-сіддханта», свідчать про високий рівень його досліджень та наукову прозорливість. Так, у сьомому розділі праці «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць розташований далі від Землі, ніж Сонце:Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
7.1. Якби Місяць був вище від Сонця, то його ближня до Сонця половина завжди була б освітленою. 7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою. 7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] зростає в напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.
Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і його можна обчислити, виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.
Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, сполучень, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта критикував уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б із Землі») Брамагупта відповів: «Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від Землі».
Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив: «Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води — текти.»
Твори
«Брахма-спхута-сіддханта» Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628). Переважно присвячена астрономії, та водночас містить декілька розділів з математики. У них викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких невизначених квадратних рівнянь вигляду ax²+c=y², метод розв'язування невизначених лінійних рівнянь вигляду ax+c=by з використанням методу послідовних дробів. У решті розділів описано фази Місяця, сполучення планет, наведено розрахунки положень планет. Значну частину роботи присвячено затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет у гороскопі.
Містить 25 розділів: Про стан земної кулі і форму неба та Землі. Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги. Про складання таблиці світил. Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого. Про те, як світила з'являються з-за проміння Сонця і як вони ховаються за ним. Про те, як показується молодий Місяць, і про його два роги. Про затемнення Місяця. Про затемнення Сонця. Про тіні Місяця. Про сполучення та протистояння світил. Про широти світил. Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного. Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках. Про уточнення середнього положення світил. Про виправлення таблиці світил. Про точне дослідження трьох проблем. Про відхилення затемнень. Про точне визначення появи молодого Місяця і його двох рогів. Про метод «куттака». Про розрахунки в розмірах віршів та метриці. Про кола та інструменти. Про чотири виміри часу — за Сонцем, за сходом, за Місяцем і за місячними станціями. Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах із цього предмету. Про доведення, що не використовують математики.
771 року математик і філософ Ібрахім аль-Фазарі переклав «Брахма-спхута-сіддханта» арабською. Переклад, виконаний у вигляді таблиць — зіджу — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндгінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважають, що переклад останньої в XI столітті латиною відіграв вирішальну роль у поширенні позиційної системи числення.
У VII—IX столітті «Брахма-спхута-сіддханта» переклали китайські математики (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених. У 1817 році Генрі Томас Колбрук переклав дві математичні глави англійською.
«Кхандакхадьяка» Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії, написана як практичний посібник для використання студентами.
Праця складається з двох частин під назвами «Пурва» і «Уттара». Перші дев'ять розділів пояснюють опівнічну систему, наступні 6 містять виправлення та доповнення.