Теорема Гротендіка про розщеплення дає класифікацію голоморфних векторних розшарувань над комплексною проективною прямою. А саме, вона стверджує, що кожне голоморфне векторне розшарування над є прямою сумою голоморфних 1-вимірних розшарувань.
Історія
Теорему названо на честь Александра Гротендіка, який довів її в 1957 році.. Вона еквівалентна теоремі, доведеній 1913 року Джорджем Біркгофом, але була відома вже 1908 року Йосипу ПлемелюPlemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211—245. і 1905 року Давиду Гільберту.Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
Формулювання
Формулювання Гротендіка
Кожне голоморфне векторне розшарування над голоморфно ізоморфне прямій сумі лінійних розшарувань:
де позначає розшарування з класом Черна . Більш того, це подання єдине з точністю до перестановки доданків.
Формулювання Біркгофа
Оборотна матриця , кожна компонента якої є многочленом Лорана від , подається у вигляді добутку , де матриця — многочлен від , — діагональна матриця, і матриця — многочлен від .
Застосування Теорема Гротендіка про розщеплення використовується в доведенні Мікалефа і Мура теореми про сферу з додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
Варіації та узагальнення Той же результат має місце для алгебричних векторних розшарувань над для будь-якого поля .
Примітки
Література .