У геометрії спарені кола Архімеда — це пара особливих кіл, які пов'язані з арбелосом. Арбелос утворюється трьома колінеарними точками: , та , і являє собою криволінійну трикутну область, обмежену трьома півколами, діаметри яких відповідають відрізкам , та .
Якщо арбелос поділений на дві менші області відрізком, що проходить через проміжну точку перпендикулярно до прямої , то кожне з двох кіл Архімеда розташовуватиметься в межах однієї з цих областей, дотикаючись до її двох напівкруглих сторін і до розділового сегмента, та має той самий діаметр.
Ці кола вперше були описані в «Книзі Лем», де доводиться (у п'ятому твердженні), що два кола є конгруентнимиThomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. П'яте твердження з «Книги Лем». Цитата: «Нехай AB — діаметр півкола, C — будь-яка точка на AB, а CD — перпендикуляр до нього. Нехай півкола описуються всередині першого півкола, маючи AC і CB як свої діаметри. Тоді, якщо ми проведемо два кола, що торкаються CD з різних сторін і кожне з яких дотикається до обох півкол, то ці кола будуть рівними.».
Сабіт ібн Курра, який переклав цю книгу арабською мовою, приписував її авторство грецькому математику Архімеду. Відповідно до цього твердження, спарені кола Архімеда, а також кілька інших кіл в арбелосі, що їм відповідають, також отримали назву кола Архімеда. Проте це приписування було оскаржене більш пізніми вченими.
Побудова Нехай , та три кути арбелосу, причому розташоване між та . Позначимо точку , в якій перетинаються велике півколо та перпендикуляр до , проведений через точку . Відрізок , що з'єднує ці дві точки, ділить арбелос на дві частини. Спареними колами будемо вважати два кола, вписані в ці частини, які дотикаються до одного з менших півкіл, до відрізка та до великого півкола.
Кожне з цих двох кіл визначається трьома дотичними. Їх побудова є специфічним випадком задачі Аполлонія. Також були знайдені альтернативні методи для побудови двох кіл, які є конгруентними спареним колам.
Властивості Нехай a та b — це діаметри двох внутрішніх півкіл, тоді діаметр зовнішнього півкола дорівнює a + b. Діаметр кожного зі спарених кіл визначається
.
Або, якщо діаметр зовнішнього півкола становить одиницю, а внутрішні кола мають діаметри та , то діаметр кожного зі спарених кіл визначається
.
Найменше коло, яке охоплює обидва спарені кола, має таку ж площу, як і арбелос.
Інші конгруентні кола Інші кола, які є конгруентними спареним колам, також були створені з арбелоса. Як і спарені кола, ці кола отримали назву архімедових. До них належать: , та .
Див. також
Примітки