У статистиці регресія Демінга, названа на честь Едвардса Демінга, є , що використовується для знаходження найкращого наближення прямої для двовимірного набору даних. На відміну від простої лінійної регресії, регресія Демінга враховує похибки в спостереженнях як на осі x, так і на осі y. Вона є окремим випадком методу найменших квадратів, який дозволяє використовувати будь-яку кількість показників для прогнозування та складнішу структуру помилок.
Регресія Демінга є аналогом методу максимальної правдоподібності для моделі з похибками у змінних. Вона припускає, що похибки обох змінних є незалежними та нормально розподіленими, а також що співвідношення їхніх відхилень, позначене як , є відомим. На практиці це співвідношення може бути оцінене за допомогою відповідних джерел даних; однак процедура регресії не враховує можливі похибки при оцінці цього співвідношення.
Обчислення регресії Демінга є трохи складнішим, ніж простої лінійної регресії. Проте більшість статистичних програм, що використовуються в , підтримують цей метод.
Історія Модель була вперше запропонована Адкоком у 1878 році, який розглядав випадок, коли = 1. Пізніше Куммел у 1879 році розширив цю концепцію, ввівши довільне значення . Однак їхні ідеї залишалися маловідомими протягом понад 50 років, поки їх не відновив Коопманс у 1937 році. Подальша популяризація відбулася завдяки Демінгу у 1943 році. Його книга здобула велику популярність у клінічній хімії та суміжних галузях, внаслідок чого цей метод отримав назву регресії Демінга.
Уточнення моделі Припустимо, що наявні дані (yi, xi) є виміряними спостереженнями «істинних» значень (yi*, xi*), які розташовані на лінії регресії:
де помилки ε та η є незалежними, а співвідношення їх відхилень вважається відомим:
На практиці відхилення параметрів та часто залишаються невідомими, що ускладнює процес оцінки . Варто зазначити, що якщо метод вимірювання для та є однаковим, то ці відхилення, ймовірно, також будуть подібними, тому для цього випадку.
Ми прагнемо визначити лінію «найкращого підходу»,
яка мінімізує зважену суму квадратних залишків моделіFuller, ch.1.3.3:
Для детального виведення дивіться Jensen (2007)Jensen, Anders Christian (2007).
Рішення Рішення можна виразити через моменти вибірки другого ступеня. Спочатку необхідно обчислити такі величини (усі суми беруться від i = 1 до n):
В результаті, оцінки параметрів моделі за методом найменших квадратів будутьGlaister (2001)
Ортогональна регресія У випадку рівних відхилень похибки, коли , регресія Демінга перетворюється на ортогональну регресію: вона мінімізує суму квадратів перпендикулярних відстаней від точок даних до регресійної лінії. У цьому випадку позначимо кожне спостереження як точку zj у комплексній площині (тобто, точка (xj, yj) буде записана як zj = xj + iyj, де i — Уявна одиниця). Нехай Z — це сума квадратів відхилень точок даних від центроїда (також вираженого в комплексних координатах), який є точкою, координати якої є середніми значеннями відповідних даних. ТодіMinda and Phelps (2008), Theorem 2.3.:
Якщо Z = 0, то будь-яка лінія, що проходить через центроїд, є лінією з найкращим ортогональним підходом. Якщо Z ≠ 0, лінія ортогональної регресії проходить через центроїд і є паралельною вектору, що веде від початку координат до .
Тригонометричне представлення лінії ортогональної регресії було вперше запропоновано Куліджем у 1913 роціCoolidge, J. L. (1913).
Додаток Для трьох неколінеарних точок у площині, трикутник, що має ці точки як свої вершини, містить унікальний еліпс Штейнера, який дотикається до сторін трикутника в їхніх серединах. Велика вісь цього еліпса співпадає з лінією ортогональної регресії для трьох вершинMinda and Phelps (2008), Corollary 2.4.
Див. також Наближення прямою
Примітки
Список літератури