Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку. В декартовій системі координат, де вісь абсцис спрямована за , а вісь ординат за на відрізку , як на діаметрі будується допоміжне коло. В точці проводиться дотична . З точки проводиться довільна пряма , яка перетинає коло в точці і дотичну в точці . Від точки у напрямку точки , відкладається відрізок , довжина якого дорівнює довжині відрізка . При обертанні лінії навколо точки , точка описує лінію, яка називається цисоїда Діокла. Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.

Рівняння Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:

Рівняння цисоїди в полярній системі координат:

Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:

Параметричне рівняння цисоїди:

де

.

Історія Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка , розташована на допоміжному колі симетрично точці ; вісь симетрії — діаметр . З точки проводиться перпендикуляр до осі абсцис. Точка , що належить цисоїді, знаходиться на перетині цього перпендикуляра і прямої . Цим методом Діокл побудував тільки криву всередині допоміжного кола. Якщо цю частину цисоїди () замкнути дугою кола , то виходить фігура, що нагадує своєю формою листок плюща. Грецькою плющ — («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».

В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик у 1640 році. Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик .

Властивості

Цисоїда симетрична відносно осі абсцис. Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках і , які належать діаметру цього кола. Цисоїда має один касп і асимптоту , рівняння якої: , де  — радіус допоміжного кола. Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.

Площа між цисоїдою і асимптотою Ця площа дорівнює:

Об'єм тіла обертання Об'єм () тіла, утвореного при обертанні гілки навколо осі абсцис, розраховується так:

Якщо , то , тобто .

Див. також Конхоїда Слюза

Примітки

Джерела