Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — аналог класичного нормального розподілу. Його було введено Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy, Ranga Rao та Srinivasa R. S. Varadhan у 1963 роціK. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan. Probability distributions on locally compact abelian groups. Illinois Journal of Mathematics, 7 (1963), pp. 337–369. doi:10.1215/ijm/1255644642, див. також K. R. Parthasarathy. Probability measures on metric spaces. New York; London: Academic Press, 1967. ISBN 0-12-548050-8. Цей розподіл відіграє важливу роль у представленні характеристичних функцій безмежно подільних розподілів, арифметиці ймовірнісних розподілівG. M. Feldman. Arithmetic of probability distributions and characterization problems on Abelian groups. Transl. Math. Monographs, Vol. 116. Providence, RI: American Mathematical Society, 1993. ISBN 978-0-8218-4568-6 та характеризаційних задачах математичної статистики на локально компактних абелевих групахG. Feldman. Characterization of Probability Distributions on Locally Compact Abelian Groups. Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 273. Providence, RI: American Mathematical Society, 2023. ISBN 978-1-4704-7295-5. Означення Нехай — локально компактна абелева група, що задовольняє другу аксіому зліченності, — її група характерів, а — значення характеру на елементі .
Розподіл на групі називається розподілом Гауса, якщо його характеристична функція (перетворення Фур'є) може бути подана у вигляді
де — неперервна невід’ємна функція на , що задовольняє рівняння
Розподіл Гауса називається симетричним, якщо . Для групи це означення збігається з класичним. Властивості 1. Розподіл Гауса є безмежно подільним розподілом .
2. Носій розподілу Гауса є класом суміжності деякої замкненої зв'язної підгрупи групи .
3. Симетричний розподіл Гауса є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у лінійному просторі (скінченновимірному , або нескінченновимірному — просторі всіх послідовностей із топологією добутку) G. M. Feldman. Gaussian Distributions on Locally Compact Abelian Groups. Theory of Probability and Its Applications, 23 (1979), pp. 529–542. doi:10.1137/112306.
4. Нехай група є зв'язною. Якщо не є локально зв'язною, то розподіл Гауса на є сингулярним відносно міри Хаара на , а якщо є локально зв'язною і має скінченну розмірність, то розподіл Гауса на є або абсолютно неперервним, або сингулярним відносно міри Хаара на . Питання про справедливість аналогічного твердження для локально зв'язних груп нескінченної розмірності є відкритим, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса.
5. На зв'язних групах скінченної розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі — будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні .
6. Якщо розподіл можна вкласти в неперервну однопараметричну напівгрупу , , розподілів на , то є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли
для будь-якого околу нуля групи G. Forst. Convolution Semigroups of Local Type. Mathematica Scandinavica, 34 (1974), pp. 211–218. doi:10.7146/math.scand.a-11521. Примітки