За́мкнений клас фу́нкцій а́лгебри ло́гіки — така множина P функцій алгебри логіки, замикання якої відносно операції суперпозиції збігається з ним самим, тобто [P] = P.

Тобто, довільна функція, яку можна представити формулою з використанням функцій множини P, також входить в цю множину: (замкнутість щодо заміни змінних); (замкнутість щодо суперпозиції).

Замкненим класом функцій алгебри логіки є, наприклад, клас всіх функцій алгебри логіки.

В 1941 році Еміль Пост надав повний опис замкнених класів, який назвали ґраткою Поста.

Приклади Особливо важливими замкнутими класами є так звані передповні класи: клас функцій, що зберігають константу 0:. клас функцій, що зберігають константу 1:. клас самодвоїстих функцій:. клас монотоних функцій:. клас лінійних функцій:. Ні один з передповних класів не міститься повністю в об'єднанні чотирьох інших класів; довільний замкнутий клас, відмінний від , повністю міститься в хоча б в одному з п'яти передповних класів.

Іншими важливими замкнутими класами є: Клас кон'юнкцій K, що є замиканням множини операцій . Він являє собою множину функцій виду . Класс диз'юнкцій D, що є замиканням множини операцій . Він являє собою множину функцій виду . Клас U функцій одної змінної, що містить тільки константи, заперечення та селектор (функцію, що тотожна одній зі своїх змінних). Клас функцій (m - натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на яких функція рівна нулю, знайдеться змінна, яка теж рівна нулю на всіх цих наборах. Класс функцій, для яких виконується умова . Класс функцій (m - натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на яких функція рівна 1, знайдеться змінна, яка теж рівна 1 на всіх цих наборах. Класс функцій, для яких виконується умова .

В 1941 році Еміль Пост показав, що довільний замкнутий клас є перетином скінченної кількості вищеописаних класів. Також Пост встановив, що довільний замкнутий клас може бути порождений скінченним базисом.

Властивості Перетин замкнутих класів є замкнутим класом. Об'єднання замкнутих класів може не бути замкнутим класом. Доповнення замкнутого класа булевих функцій до множини всіх булевих функцій не є замкнутим класом.

Повні класи Множина A функцій алгебри логіки називається повною системою, якщо її замикання збігається з множиною всіх функцій (для двозначної логіки [A] = P2).

Критерій Поста формулює необхідну і достатнью умову повноти для системи функцій. Система булевих функцій є повною тоді і тільки тоді, коли вона не міститься повністю ні в одному із передповних класів, тобто , , , , .

Повна система називається базисом, якщо вона перестає бути повною при виключенні з неї довільної функції.

Прикладами повних систем із однієї функції є штрих Шефера та стрілка Пірса.

Широко відомими є такі повні системи булевих функцій: (кон'юнкція, диз'юнкція, заперечення) — відповідно до законів де Моргана не є базисом (кон'юнкцію чи диз'юнкцію можна виключити); (кон'юнкція, виключна диз'юнкція, константа 1) — є базисом. Перша система використовується для представлення булевих функцій у вигляді диз'юнктивних та кон'юнктивних нормальных форм, друга — для представлення у вигляді поліномів Жегалкіна.

Максимальна кількість булевих функцій в базисі — 4.

Деколи говорять про систему функцій повну в деякому класі, а також про базис цього класу. Наприклад, систему можна назвати базисом класа лінійних функцій.

Література