Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог -простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.
Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних
операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.
Означення Простір Гарді при — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові
Ліва частина цієї нерівності називається -нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для , і позначається . Як і у випадку -просторів, ця норма узагальнюється на випадок як
Простори Гарді на верхній комплексній півплощині Простір Гарді Hp(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як
Простір H∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:
Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H2 справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса
то лінійний операторr M : H2(H) → H2(D) заданий як
є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.
Простори Гарді на одиничному колі Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних -просторів на одиничному колі.
Якщо f ∈ Hp, де p > 0, то радіальна границя
існує для майже всіх θ. Функція належить до Lp - простору на одиничному колі і також
Також виконується рівність
Якщо функція є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.
Якщо позначити одиничне коло як T і Hp(T) — векторний підпростір простору Lp(T) елементами якого є граничні функції , де f належить Hp, то для p ≥ 1,
де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:
Простір Hp(T) є замкнутим підпростором простору Lp(T).
Навпаки для функції ∈ Lp(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона Pr:
Тоді f належить Hp тоді і тільки тоді, коли належить Hp(T). Якщо належить Hp(T), тобто має коефіцієнти Фур'є (an)n∈Z і an = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді Hp пов'язана з є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:
Властивості
Для , простір є простором Банаха. Для випадку є підмножиною множини .
Доведення включення здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови Тоді
Якщо то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для , як простори функцій
Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:
Якщо функція і є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді. Якщо , то існують збіжний добуток Бляшке і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція для яких До того ж Добуток Бляшке записується через нулі функції f: де n — кратність 0 як нуля функції f. Функція розкладається у добуток зовнішньої функції
і внутрішньої сингулярної функції:
де є функцією класу на одиничному колі, а є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі. Також три умови є рівносильними і майже всюди на одиничному колі. Функція є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами у відкритому одиничному колі і майже всюди на одиничному колі.
Приклади
Якщо то функція визначена за допомогою основної гілки логарифма належить простору але не належить простору
Для цієї функції виконуються нерівності:
Оскільки для виконується нерівність то додатково ці інтеграли є меншими, ніж а тому З іншого боку виконуються нерівності
Оскільки то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також і тому не належить простору
Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді для всіх Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то для всіх Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі. Важливим окремим випадком є Нехай і її розклад у ряд Тейлора має вид Для функції можна ввести норму Тоді і зокрема тоді і тільки тоді коли її норма є скінченною. Позначаючи де і і враховуючи маємо Тобто є коефіцієнтами Фур'є для як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: Із цієї рівності випливає твердження. Звідси, випливає, що як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору і зокрема є простором Гільберта.
Посилання