Теорія кіс — розділ топології та алгебри, вивчає коси і групи кіс, складені з їхніх класів еквівалентності.

Визначення коси Коса з ниток — об'єкт, що складається з двох паралельних площин і у тривимірному просторі , які містять упорядковані множини точок і і з роз'єднаних між собою простих дуг , які перетинають кожну паралельну площину між і одноразово і з'єднують точки з точками .

Зазвичай вважається, що точки лежать на прямій в , а точки на прямій в , паралельній , причому розташовані під для кожного .

Коси зображуються в проєкції на площину, що проходить через і ця проєкція може бути зведена в загальне положення так, що є лише скінченне число подвійних точок, попарно розташованих на різних рівнях, і перетини трансверсальні.

Група кіс

У множині всіх кіс з n нитками і з фіксованими вводиться відношення еквівалентності. Воно визначається гомеоморфізмами , де  — область між і , тотожними на . Коси і еквівалентні, якщо існує такий гомеоморфізм , що .

Класи еквівалентності, далі також звані косами, утворюють групу кіс . Одинична коса — клас еквівалентності, який містить косу з n паралельних відрізків. Коса зворотна до коси , визначається відображенням у площині

Нитка коси з'єднує з і визначає підстановку, елемент симетричної групи . Якщо ця підстановка тотожна, то коса називається фарбованою (або чистою) косою. Це відображення задає епіморфізм на групу перестановок n елементів, ядром якого є підгрупа , яка відповідає всім чистим косам, так що є коротка точна послідовність

Сплетення Нехай  — тензорна категорія. Сплетенням у є структура комутування на , яка задовольняє двом співвідношенням:

для усіх об'єктів

Якщо  — сплетення у , то й є сплетенням у .

Косовою моноїдальною категорією є моноїдальна категорія, оснащена сплетенням.

Нехай  — векторний простір над Рівняння Янга-Бакстера — рівняння для лінійного автоморфізму з простору

Це рівняння є рівністю елементів групи автоморфізмів Його розв'язок називається -матрицею.

Для векторного простору через позначимо оператор перестановки співмножників, який представляє дві копії цього простору. Він визначається співвідношенням

Оператор перестановки задовольняє рівнянню Янга-Бакстера, оскільки в симетричній групі виконується співвідношення Кокстера

де верхні індекси визначають транспозицію, яка міняє та

Нехай  — асоціативна алгебра із одиницею (над деяким алгебрично замкненим полем нульової характеристики ), на якій визначена операція кодобутку задані антипод та косий антипод (тобто антипод для протилежного кодобутку ), а також одиниця є квазітрикутною супералгеброю Гопфа, якщо задовольняє квантовому рівнянню Янга-Бакстера:

а також співвідношенням

Див. також Теорія вузлів Група кіс

Примітки

Література Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стор. 6-14 Посилання Танець про теорію кіс - навряд чи ви коли небуть бачили щось подібне 2017р.