Теорема про частку — твердження про те, що якщо результат множення вектора на величину з довільним числом верхніх і нижніх індексів є тензором для будь-якого вектора, то величина з верхніми і нижніми індексами є тензором.
Формулювання Нехай величина така, що для будь-якого вектора величина є тензором. У цьому випадку величина є тензором.
Доведення Розглянемо перетворення від старої криволінійної системи координат, де вектор має координати до нової системи координат, де цей же вектор має координати . Домовимося позначати . Позначимо величину . За умовою, є тензор, тому . Тоді . Так як є вектором, за правилами перетворення векторів маємо: . Таким чином: Ця рівність має бути вірною для всіх , отже . Величина є тензором. Доведення неважко узагальнити на будь-яке число верхніх і нижніх індексів.
Примітки
Джерела
Посилання Quotient Rule // Essential Mathematical Methods for Physicists Quotient Rule // Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics Quotient Rule // Mathematics for Physical Science and Engineering