Похи́ла площина́ — площина, розташована під деяким гострим кутом до горизонтальної площини. Переріз похилої площини — прямокутний трикутник із гострим кутом . У механіці похилу площину вважають одним із простих механізмів. Використовується для піднімання вантажів із використанням меншої сили ніж за вертикального переміщення.
Щоб перемістити тіло вгору по похилій площині, потрібна менша сила, ніж для піднімання його вертикально вгору, але це призводить до збільшення відстані переміщення. похилої площини, коефіцієнт, на який зменшується сила, дорівнює відношенню довжини похилої поверхні до її висоти. За законом збереження енергії, для підняття тіла на задану висоту потрібна така ж кількість механічної енергії (роботи), не враховуючи втрати на тертя, але похила площина дає змогу виконати ту саму роботу меншою силою, яка діє на більшій відстані.
Кут тертя, який також іноді називають кутом природного укосу — це максимальний кут, за якого вантаж може нерухомо лежати на похилій площині завдяки тертю, не зісковзуючи вниз. Цей кут дорівнює арктангенсу коефіцієнта тертя спокою μs між поверхнями.
Вважають, що від похилої площини походять два інші прості механізми. Клин можна вважати рухомою похилою площиною або двома похилими площинами, з'єднаними основами. Гвинт складається з вузької похилої площини, навитої на циліндр.
Термінологія
Похил похилої площини залежить від її похилу, тобто від її крутизни. Що менший похил, то більший виграш у силі і менша сила, необхідна для підняття заданого вантажу. Похил площини s дорівнює різниці висот між її двома кінцями, або «підняттю», поділеній на її горизонтальну довжину, або « розбіг». Його також можна виразити кутом, який площина утворює з горизонталлю, .
Виграш у силі (від — механічна перевага) простого механізму визначається відношенням вихідної сили, що діє на вантаж, до прикладеної сили. На похилій площині вихідна сила — це просто сила тяжіння , яка діє на тіло, розміщене на площині. Прикладена сила — це сила , яка діє на тіло паралельно до площини, щоб перемістити його вгору по площині. Виграш у силі
Виграш у силі ідеальної похилої площини без тертя іноді називають ідеальним виграшем у силі , тоді як виграш у силі з урахуванням тертя називають фактичним виграшем у силі .
Похила площина без тертя
Якщо між переміщуваним тілом та площиною немає тертя, пристрій називають ідеальною похилою площиною. До цієї умови можна наблизитися, якщо об'єкт котиться як бочка або сприрається на колеса. За законом збереження енергії, для похилої площини без тертя робота, що виконується над вантажем під час піднімання, , дорівнює роботі, виконаній прикладеною силою, .
Робота визначається як добуток сили на переміщення тіла в напрямі сили. Робота, що виконується над вантажем (корисна робота), дорівнює його вазі, помноженій на вертикальне переміщення, яке дорівнює «підняттю» похилої площини:
Повна робота дорівнює добутку сили на довжину похилої площини:
Підставляючи ці вирази в наведене вище рівняння збереження енергії та переставляючи їх, маємо
З малюнка вище видно, що для площини з кутом
Отже
Отже, виграш у силі похилої площини без тертя дорівнює оберненій величині синуса кута нахилу. З цього рівняння випливає, що прикладена сила це сила, необхідна для утримання вантажу на похилій площині нерухомо або для його підняття з постійною швидкістю. Якщо прикладена сила більша, то вантаж рухається по площині з прискоренням, напрямленим уздовж неї вгору. Якщо ж менша, то прискорення напрямлене уздовж площині вниз.
Похила площина з тертям Якщо між площиною та тілом є тертя, як, наприклад, коли важку коробку переміщують по пандусу, частина роботи, яку виконує прикладена сила, розсіюється у вигляді тепла, , тому над тілом виконується менша робота. За законом збереження енергії, сума корисної роботи та втрат енергії на тертя дорівнює повній роботі
Отже, потрібна більша прикладена сила, а виграш у силі менший, ніж за відсутності тертя. За наявності тертя тіло рухатиметься лише тоді, коли прикладена сила, паралельна поверхні, більша за протилежну до неї силу тертя .This derives slightly more general equations which cover force applied at any angle: Найбільша сила тертя визначається як
де — сила нормальної реакції площини, спрямована перпендикулярно до поверхні, — коефіцієнт тертя спокою між двома поверхнями, який залежить від матеріалу. Без прикладання сили, якщо кут нахилу площини менший від деякого граничного значення , складова гравітаційної сили, паралельна до площини, буде занадто малою, щоб подолати тертя, і вантаж залишатиметься нерухомим. Цей кут називається кутом природного укосу і залежить від матеріалу поверхонь, але не залежить від ваги вантажу. Нижче показано, що тангенс кута природного укосу дорівнює
За наявності тертя завжди існує певний діапазон прикладених сил , за яких тіло залишається нерухомим, не ковзаючи вгору чи вниз по площині, тоді як для похилої площини без тертя існує лише одне конкретне значення прикладеної сили, за якого тіло є нерухомим.
Аналіз Згідно з другим законом Ньютона, тіло перебуває в спокої або рухається рівномірно прямолінійно, якщо сума сил, що діють на нього, дорівнює нулю. Оскільки напрямок сили тертя протилежний під час руху і вгору і вниз, ці два випадки необхідно розглянути окремо:
Рух угору. Загальна сила, що діє на тіло, напрямлена вгору паралельно до похилої площини, тому сила тертя напрямлена вниз уздовж площини.
Виграш у силі дорівнює:
де Це умова початку руху вгору по похилій площині. Якщо прикладена сила Fi більша, ніж задана цим рівнянням, тіло рухатиметься по площині вгору.
Рух униз. Загальна сила, що діє на тіло, напрямлена вниз уздовж похилої площини, тому сила тертя сила тертя напрямлена вгору вздовж площини.
Виграш у силі дорівнює:
Це умова початку руху вниз по площині; якщо прикладена сила Fi менша за задану в цьому рівнянні, тіло ковзатиме по площині вниз. Можливі три випадки: : виграш у силі від'ємний. За відсутності прикладеної сили вантаж залишатиметься нерухомим і потребуватиме прикладання певної від'ємної (напрямленої уздовж площини вниз) сили, щоб ковзати вниз. : «кут природного укосу». Виграш у силі нескінченний. Без прикладеної сили вантаж не ковзатиме, але найменша від'ємна (напрямлена уздовж площини вниз) сила приведе до його ковзання. : виграш у силі додатний. За відсутності прикладеної сили вантаж ковзатиме вниз по площині, і для його утримання в нерухомому стані потрібна певна додатна (напрямлена уздовж площини вгору) сила.
Сили, які діють на тіло
Рівновагу сил, що діють на тіло на похилій площині зображено на малюнку. Силу тяжіння, напрямлену вертикально вниз, можна розкласти на дві складові: паралельну до похилої площини і перпендикулярну до неї. Складову сили, перпендикулярну до похилої площини, урівноважує сила реакції (за визначенням, вага — це сила з якою тіло тисне на опору під дією сили тяжіння), а та складова, що тягне тіло вздовж похилої площини вниз дорівнює , де — маса тіла, — прискорення вільного падіння. Оскільки , то для того, щоб зрівноважити цю силу, потрібно прикласти силу меншу за . Що менший кут , то меншу потрібно прикладати силу. Ця сила зрівноважується силою тертя . Сила тяжіння напрямлена вертикально вниз і при змінюванні кута нахилу лишається незмінною.
Під час руху тіла вгору, навіть у випадку, коли цей рух рівномірний, руху перешкоджає також сила тертя (не показана на рисунку), яку можна оцінити за формулою: ,
де — коефіцієнт тертя. В цьому випадку для рівномірного руху тіла вгору необхідно прикласти силу: .
Ця сила все ж менша за mg.
Щодо роботи, яку необхідно виконати для підняття тіла, то похила площина не дає ніякого виграшу. Навпаки, частина виконаної роботи йде на подолання сили тертя.
Рівновага тіла на похилій площині Якщо до тіла не прикладати ніякої зовнішньої сили, то воно може залишатися на похилій площині в стані спокою, або скотитися вниз. Оскільки можливий чи дійсний рух тіла в такому випадку напрямлений униз, то сила тертя діє проти паралельної до площини складової сили тяжіння. Умовою рівноваги стає вираз
або, спрощуючи . Якщо коефіцієнт тертя менший за тангенс кута , то тіло зісковзуватиме вниз. Якщо більший, то тіло залишатиметься на похилій площині. Ця умова не залежить від маси тіла.
Прискорення тіла, що скочується похилою площиною
Похилу площину можна використати для дослідження рівноприскореного руху. Рівнодійна сил, які діють на тіло на похилій площині, напрямлена паралельно до площини і дорівнює, якщо знехтувати силами тертя, .
Тіло, що зісковзує з похилої площини матиме прискорення .
При врахуванні сил тертя .
За малих кутів при основі похилої площини, це прискорення можна зробити малим, що дає змогу спостерігати, як тіло набирає швидкість, тобто які відрізки воно проходить за рівні проміжки часу. Такі дослідження провів Галілео Галілей, визначивши, що прискорення тіла не залежить від його маси.
Визначення виграшу в силі через потужність похилої площини — це відношення ваги вантажу на пандусі до сили, необхідної для його піднімання по пандусу. Якщо енергія під час руху вантажу не розсіюється і не накопичується, то виграш у силі можна обчислити, виходячи з розмірів пандуса.
Щоб показати це, нехай положення r залізничного вагона на пандусі з кутом θ до горизонту задається як
де R — відстань вздовж пандуса. Тоді швидкість вагона, який піднімається пандусом
Оскільки втрат немає, потужність, яку розвиває сила під час переміщення вантажу вгору, дорівнює корисній потужності вертикального піднімання вантажу під дією сили , рівної силі тяжіння.
Затрачувана потужність витягання вагона вгору визначається як
і корисна потужність
Прирівнявши затрачувану потужність із корисною, для виграшу в силі маємо:
Виграш у силі похилої площини також можна розрахувати зі співвідношення довжини пандуса до його висоти , оскільки синус кута нахилу пандуса визначається як
то,
Приклад. Якщо висота пандуса , а його довжина , то виграш у силі становить
тобто, сила 20 Н підніме вантаж вагою 100 Н.
Розміри ліверпульської похилої площини Мінарда становлять 1804×37,50 м, що забезпечує виграш у силі
тобто, сила натягу троса в 100 фунтів-сили (lbf) дає змогу підняти вантаж масою 4810 фунтів. Похил цієї площини становить 2 %, отже, кут θ достатньо малий і .
Похила площина в природі й техніці
Похилі площини часто зустрічаються в повсякденному житті. Наприклад, для піднімання вантажів використовуються пандуси. Завдяки нахилу пандуса сила, необхідна для піднімання, менша, проте шлях, який потрібно подолати вздовж пандуса, збільшується.
Менш очевидно те, що на принципі похилої площини ґрунтується дія інших простих механізмів: клина і гвинта. У випадку клина використовується похила площина з дуже гострим кутом. У випадку гвинта різь теж є викривленою похилою площиною.
Похилі площини широко використовують у вигляді апарелей для завантаження та розвантаження товарів на вантажівках, кораблях та літаках. Пандуси використовують, щоб люди на колісних кріслах могли без значних зусиль долати вертикальні перешкоди. Ескалатори та похилі конвеєрні стрічки також є формами похилої площини. У фунікулері або залізничний вагон піднімають крутою похилою площиною за допомогою тросів. літаків дають змогу людям швидко та безпечно дістатися землі з висоти пасажирського авіалайнера.
Також похила площина може бути частиною споруди. Автомобільні дороги та залізниці мають похилі ділянки та з'їзди, що дає змогу транспортним засобам долати вертикальні перешкоди, як-от пагорби, не втрачаючи зчеплення з дорожнім покриттям. Аналогічно, пішохідні доріжки та тротуари мають пологі пандуси, які обмежують їх нахил, щоб пішоходи могли зберігати зчеплення з дорогою. Похилі площини також використовують для розваги на , , лижних схилах та скейт-парках.
Історія