Ренормалізаційна група або стисло ренормгрупа — апарат теоретичної фізики, що дозволяє систематичне дослідження змін у фізичній системі при зміні масштабу, тобто при масштабних перетвореннях. У фізиці елементарних частинок це стосується зміни у відповідних законах взаємодії на масштабі енергій, на якому відбуваються модифікації фізичних процесів.
Поняття ренормгрупи тісно зв'язане з поняттями масштабної інваріантності та конформаційної інваріантності, симетрій, коли система виглядає однаковою на кожному з масштабів (самоподібності).
Зміна масштабу аналогічна розглядання системи в мікроскоп зі змінною роздільною здатністю. У так званих перенормовних теоріях система на певному масштабі загалом виглядає так, наче вона складається з подібних між собою своїх копій дрібнішого масштабу, і ці компоненти описуються набором параметрів. Компоненти або фундаментальні змінні можуть бути атомами, елементарними частинками, атомарними спінами тощо. Параметри типово описують взаємодію між компонентами. Це можуть бути характеристики зв'язку, що задають сили, або власне самі масові параметри. Може статися, що компоненти складають зі схожих між собою дрібніших.
Наприклад, у квантовій електродинаміці електрон, якщо приглянутися, виглядає так, наче він складається з електрона, позитрона і фотона. Звичний електрон наче одягнений у шубу з інших частинок. Електричний заряд та маса голого електрона дещо відрізняються, і ця різниця визначається з рівнянь ренормгрупи.
Історія
Ідея масштабних перетворень та масштабної інваріантності у фізиці стара. Міркування на основі розмірності були звичними у піфагорейців, Евкліда і пізніше Галілея. Знову популярними вони стали в кінці 19-го століття, мабуть першим прикладом була ідея Осборна Рейнольдса про пояснення турбулентності через зростання в'язкості.
Початково апарат ренормгрупи було розроблено у фізиці елементарних частинок, але тепер його застосування поширилося на фізику твердого тіла, механіку флюїдів, фізичну космологію і навіть нанотехнологію. Стаття Ернеста Штюкельберга та Андре Петерманна 1953 року передбачає ідеї з квантової теорії поля і концептуально відкриває це поле досліджень. Вони зауважили, що реформування по суті запроваджує групу перетворень, що заміняють голі члени одягненими. Вони запропонували у квантовій електродинаміці функцію h(e), яку тепер називають бета-функцією.
Перші успіхи
Маррі Гелл-Манн та Френсіс Е. Лоу в 1954 році обмежили масштабні перетворення в квантовій електродинаміці тільки найбільш суттєвими й зосередилися на асимптотиці фотонного пропагатора на високих енергіях. Вони визначили варіацію електромагнітного зв'язування завдяки простоті масштабного фактора в цій теорії. Так вони відкрили, що параметр зв'язку g(μ) при масштабі енергії μ задається груповим рівнянням
для деякої функції G (неозначеної, тепер її називають масштабною функцією Вегнера) та для сталої d, через зв'язування g(M) на масштабі M. Отримавши ці результати, Гелл-Манн і Лоу зрозуміли, що ефективний масштаб можна обрати довільно, а потім перемасштабувати до будь-якого іншого значення:
Суть ренормгрупи в груповій властивості: зі зміною масштабу теорія будує свої самоподібні репліки, і до будь-якого масштабу можна однаково перейти з будь-якого іншого за допомогою групової дії, це формальна транзитивна спряженість взаємодії в математичному сенсі (Рівняння Шредера).
Виходячи з цього рівняння для скінченної групи та її поведінки при перемасштабуванні, Гелл-Манн та Лоу змогли розглянути нескінченно малі перетворення і розробили обчислювальні методи для математичної функції потоку параметра взаємодії g .
Як і функція h(e) Штюкельберга та Петерманна, їхня функція визначає зміну параметра взаємодії g(μ) з малою зміною масштабу μ за допомогою диференціального рівняння, яке називають рівнянням ренормгрупи:
У 1970 році Каллан і Симанзік дали цій функції сучасну назву: бета-функція . Оскільки вона залежить лише від g, інтегрування по g пертубативної оцінки дозволяє визначення ренормалізаційної траєкторії параметра взаємодії, тобто його варіацію з енергією по суті функцію G. Передбачення теорії (Штюкельберг-Петерманн-Гелл-Манн-Лоу) знайшли підтвердження через 40 років в експериментах на великому електрон-позитронному колайдері з визначення сталої тонкої структури: при енергії 200 ГеВ її значення було близьким до 1/127, тоді як звичне низькоенергетичне значення близьке до 1/137
Глибше розуміння
Ренормгрупа з'являється при перенормуванні змінних квантових полів, що зазвичай має справу з розбіжностями. Проблему успішної систематичної роботи з розбіжностями в квантовій теорії, отримуючи скінченні значення, розв'язали Річард Фейнман, Джуліан Швінгер та Сінітіро Томонага, за що отримали в 1965 році Нобелівську премію. Фактично вони вигадали теорію перенормування заряду та маси, в якій нескінченність в імпульсі відрізається дуже великим регулятором Λ.
Залежності фізичних величин, таких як заряд чи маса електрона від параметра Λ приховані на більших відстанях, на яких проводяться вимірювання фізичних величин, а отже, як наслідок, усі спостережувані залишаються скінченними навіть для нескінченного Λ. Гелл-Манн та Лоу цими результатами показали, що ψ(g) явно залежить лише від параметрів теорії, а не від масштабу μ. Тож рівняння ренормгрупи можна розв'язати, визначивши G, а потім g(μ). Глибше розуміння фізичного значення та узагальнення процесу ренормалізації, що не обмежується групою дилатації конвенційних перенормовних теорій, розглядає методи, в яких різні масштаби фігурують одночасно. Воно прийшло з фізики конденсованих середовищ: стаття Лео Каданоффа 1966 року запропонувала ренормалізацію спінових блоків. Ідея блоків є способом визначити компоненти теорії великих розмірів як агрегати компонент малих розмірів.
Цей підхід не лише концептуально використав ідею перенормування, а й отримав суттєву й потужну обчислювальну підтримку в роботах Кеннета Вілсона. Вілсон продемонстрував силу своїх ідей конструктивним ітеративним розв'язком старої задачі, ефекту Кондо а також виконаними раніше дослідженнями фазових переходів другого порядку й критичних явищ. За свій внесок він отримав 1982 року Нобелівську премію.
Переформулювання
Тим часом теорія ренормгрупи у фізиці елементарних частинок була в 1979 році переформульована Калланом та Симанзіком у зручнішому для практичного використання вигляді. Згадана вище бета-функція, що описує утікання параметра зв'язку зі зміною масштабу, як виявилося, зводиться до «канонічної слідової аномалії», що представляє квантово-механічне порушення масштабної (дилятаційної) симетрії в теорії поля. (Цікаво, що сама квантова механіка може викликати масу через слідову аномалію та втікання параметра взаємодії.) Застосування ренормгруп у фізиці елементарних частинок вибухово зросло в 1970-их в зв'язку зі становленням Стандартної моделі.
У 1973-му виявилося, що в теорії взаємодії кольорових кварків (квантовій хромодинаміці) бета-функція від'ємна. Це означає, що початкова взаємодія при високих енергіях розбігається при певному значенні μ. Це особливе значення є характерним масштабом сильної взаємодії μ = ΛQCD і припадає на приблизно 200 MeB. З іншого боку взаємодія стає слабкою при дуже великих енергіях (асимптотична свобода), і виникає можливість спостерігати кварки як точкові частинки в глибоко непружному розсіянні, як це передбачає масштабування Фейнмана — Бйоркена. Так квантова хромодинаміка набула статусу квантової теорії поля, що має справу з сильною взаємодією між частинками.
Ренормгрупа в імпульсному просторі також стала добре розвинутим знаряддям у фізиці твердого тіла, але її успіху завадило широке використання теорії збурень, що не дозволило теорії здобути успіх у сильно корельованих системах. Варіаційне числення краща альтернатива для вивчення таких систем.
Конформна симетрія
Конформна симетрія пов'язана із зануленням бета-функції. Це може трапитися природно, якщо параметр взаємодії, втікаючи, притягається до непорушної точки, де β(g) = 0. У квантовій хромодинаміці таке відбувається на малих відстанях, де g → 0 і називається тривіальною ультрафіолетовою непорушною точкою. Для важких кварків, таких як верхній кварк взаємодія з бозоном Хіггса, яка надає кварку маси, збігається до ненульової (нетривіальної) інфрачервоної непорушної точки, що вперше передбачили Пендлтон та Росс (1981) і К. Т. Хілл. Верхній кварк взаємодії Юкави лежить дещо нижче інфрачервоної непорушної точки Стандартної моделі, що може натякати на можливість нової фізики, такої як послідовні важкі бозони Хіггса.
У теорії струн конформна інваріантність світу-листа є фундаментальною симетрією: вимагається β = 0. β тут є функцією простору-часу, в якому рухається струна. Цей факт визначає часово-просторову розмірність теорії струн й нав'язує геометрії сумісність з рівняннями Ейнштейна загальної теорії відносності. Ренормгрупи мають фундаментальну важливість для теорії струн та теорій великого об'єднання.
Ренормгрупа є також ключовою сучасною ідеєю при вивченні критичних явищ у фізиці конденсованих середовищ (For nonsubscribers see .). Ренормгрупи стали одним із основних інструментів сучасної фізики. Часто ренормгрупи використовують разом із методами Монте-Карло.
Спінові блоки
У цьому розділі з педагогічною метою розповідається про найпростішу для розуміння ренормгрупу — спінові блоки Лео Каданоффа, запропоновані 1966-го року.
Розглядається двовимірне тверде тіло, регулярно розташовані атоми, як зображено на малюнку.
Припускається, що атоми взаємодіють лише з найближчими сусідами, і що температура системи . Взаємодія описується параметром зв'язку . Фізика системи описується певною формулою, наприклад гамільтоніном .
Розбиваючи кристал на блоки 2×2, систему намагаються описати блоковими змінними, тобто змінними, що задають середнє для блоків. Далі припускають, що завдяки якомусь щасливому збігові фізика блокових змінних описується формулою того ж типу, але з іншими значеннями та : (Це не завжди так, але загалом це непогане перше наближення.)
Можливо, початкова задача була надто складною, бо атомів було надто багато. У ренормалізованій задачі їх лише чверть. Але чому зупинятися на цьому? Нова ітерація того ж типу призведе до та шістнадцятої частини атомів. З кожною ітерацією масштаб спостереження збільшується.
Звісно, найкраще було б ітерувати, доки не залишиться один великий блок. Оскільки в реальному зразку атомів дуже багато, така процедура більш-менш еквівалентна знаходженню поведінки ренормалізаційного перетворення на великих відстанях. Часто після багатьох ітерацій ренормалізаційне перетворення приводить до непорушних точок.
Для конкретності можна розглянути магнітну систему (наприклад, модель Ізінга), в якій означає тенденцію сусідніх спінів до паралельності. Конфігурація системи визначається рівновагою між прагненням до впорядкування, що задається , та температурним розупорядкуванням.
Багато моделей такого типу мають три непорушні точки: =0 і → ∞. Це означає, що в системах найбільшого розміру температура втрачає значення, тобто фактор розупорядкування зникає. Тому системи великого розміру упорядковані. Встановлюється феромагнітна фаза. → ∞ і → 0. Абсолютно протилежна ситуація, температура домінує, система великого розміру невпорядкована. Нетривіальна точка посередині, = c, = c. У цій точці фізика не міняється зі зміною масштабу бо система перебуває в фрактальному стані. Ця точка відповідає точці Кюрі фазового переходу, тобто критичній точці.
Тож, якщо задано певний матеріал з певними значеннями та , усе, що треба зробити для знаходження поведінки системи на великому масштабі, так це ітерувати, доки не буде знайдено непорушну точку.
Елементарна теорія Формулюючи думку технічніше, нехай теорія описується функцією динамічних змінних та набором параметрів взаємодії . Це може бути функція розподілу, дія, гамільтоніан тощо. Вона повинна описувати фізику системи повністю.