Труба Торрічеллі (також відома як ріг Гавриїла) — це різновид геометричної фігури, яка має нескінченну площу поверхні але скінченний об'єм. Назва ріг Гавриїла походить від християнського уявлення про те, що архангел Гавриїл одного дня засурмить у свою трубу, сповіщаючи про Судний день. Властивості цієї фігури вперше були досліджені італійським фізиком і математиком Еванджелістою Торрічеллі у XVII столітті.
Назви труба Торрічеллі та ріг Гавриїла не були введені самим Торрічеллі. Його власна назва цієї фігури міститься в латинській назві праці , написаної 1643 року, — усічене гострокутне гіперболічне тіло, відсічене площиною. У першому томі, першій частині його , опублікованої наступного року, було вміщено цю працю, а також друге, більш ортодоксальне (для свого часу) архімедове доведення теореми про об'єм усіченого гострокутного гіперболічного тіла. Цю назву використовували в математичних словниках XVIII століття, зокрема «Hyperbolicum Acutum» у словнику Гарріса 1704 року та у словнику Стоуна 1726 року, а також у французькому перекладі у словнику д'Аламбера 1751 року.
Хоча сучасники й приписували Торрічеллі першість у цьому питанні, він був не першим, хто описав нескінченно довгу фігуру зі скінченним об'ємом або площею. Праця Ніколя Орезма написана у XIV столітті, була або забута тогочасними вченими, або ж просто невідома їм. Орем висунув припущення про існування таких об'єктів, як нескінченно довга фігура, побудована шляхом поділу двох квадратів із загальною скінченною площею 2 за допомогою геометричної прогресії та перекомпонування цих частин у фігуру, нескінченно довгу в одному вимірі, що складається з низки прямокутників.
Математичне означення
Труба Торрічеллі утворюється шляхом обертання в тривимірному просторі навколо осі графіка функції
визначеної на області Цю властивість було відкрито із застосуванням принципу Кавальєрі ще до появи математичного аналізу, однак сьогодні саме математичний аналіз дає змогу обчислити об'єм і площу поверхні «труби» між та , де . За допомогою інтегрування (докладніше див. тіла обертання та поверхня обертання), можна знайти об'єм і площу поверхні :
Значення може бути як завгодно великим, однак з рівняння видно, що об'єм частини «труби» між та ніколи не перевищує ; водночас зі зростанням він поступово наближається до . У математичному сенсі об'єм прямує до коли прямує до нескінченності. Використовуючи позначення границі з математичного аналізу, маємо:
Наведена вище формула для площі поверхні дає нижню межу цієї площі, що дорівнює 2 помноженому на натуральний логарифм . Оскільки натуральний логарифм не має верхньої межі, коли прямує до нескінченності, це означає, що в даному випадку «труба» має нескінченну площу поверхні. Тобто:
У трактаті
Оригінальне доведення Торрічеллі, виконане без використання методів математичного аналізу, базувалося на об'єкті, що дещо відрізнявся від вищезгаданого. Ця фігура була утворена шляхом відсікання гострого гіперболічного тіла площиною, перпендикулярною до осі x, і доповнення його з протилежного боку цієї площини циліндром із тією самою основою. У той час як метод аналізу передбачає встановлення площини відсікання у точці та інтегрування вздовж осі x, Торрічеллі обчислював об'єм цього складеного тіла (разом із доданим циліндром), підсумовуючи площі бічних поверхонь ряду концентричних прямих циліндрів усередині нього вздовж осі y. Він продемонстрував, що це еквівалентно підсумовуванню площ усередині іншого тіла, (скінченний) об'єм якого був уже відомий.
У сучасній термінології це тіло було створено шляхом побудови поверхні обертання функції (за строго додатного ).
Теорема Торрічеллі полягала в тому, що об'єм цього тіла дорівнює об'єму прямого кругового циліндра з висотоюt та радіусом :
Торрічеллі показав, що об'єм тіла можна вивести через площі бічних поверхонь ряду концентричних прямих циліндрів, чиї радіуси становили а висоти — . Підстановка у формулу площі бічної поверхні цих циліндрів дає стале значення для всіх циліндрів: . Це значення також відповідає площі кола радіусом Таким чином, вкладені поверхні циліндрів (що заповнюють об'єм тіла) еквівалентні стопці площ кіл радіусом , складених від 0 до . Отже, об'єм вищезгаданого прямого циліндра, який, як відомо, дорівнює :
(Об'єм доданого циліндра, звісно, становить і, таким чином, об'єм самого лише усіченого гострого гіперболічного тіла становить . Якщо , як у сучасному численні, то )
В це одне з двох доведень об'єму (усіченого) гострого гіперболічного тіла. Використання «неподільних» Кавальєрі в цьому доведенні було суперечливим на той час, а результат — шокуючим (Торрічеллі пізніше зазначав, що намагався його спростувати); тому, коли через рік після було опубліковано ,Торрічеллі також надав друге доведення, засноване на ортодоксальних архімедових принципах, показуючи, що прямий циліндр (висотою і радіусом ) був одночасно верхньою та нижньою межею об'єму. Іронічно, що це стало відлунням власної обережності Архімеда, який надав два доведення — механічне та геометричне — у своїй праці Квадратура параболи адресованій Досіфею.
Уявний парадокс Коли було відкрито властивості «труби Торрічеллі», той факт, що обертання нескінченно великої ділянки площини навколо осі створює об'єкт скінченного об'єму, вважався парадоксом. Хоча ділянка, що лежить у площині , має нескінченну площу, будь-який інший переріз, паралельний їй, має скінченну площу. Таким чином, об'єм, що обчислюється як «зважена сума» перерізів, є скінченним.
Інший підхід полягає в тому, щоб розглядати це тіло як стопку дисків із радіусами, що зменшуються. Сума радіусів утворює гармонічний ряд, який розбігається до нескінченності. Однак правильним є обчислення суми квадратів цих радіусів. Кожен диск має радіус і площу , тобто . Ряд розбігається, але ряд збігається. Загалом, для будь-якого дійсного , ряд є збіжним (див. для детальнішого розгляду цього результату).
Цей уявний парадокс став частиною суперечки про природу нескінченності, у якій брали участь багато провідних мислителів того часу, зокрема Томас Гоббс, Джон Валліс і Галілео Галілей.
Існує подібне явище, що стосується довжин та площ на площині. Площа між кривими та від 1 до нескінченності є скінченною, проте довжини обох цих кривих, очевидно, є нескінченними.
У 16-й лекції своїх 1666 року Ісаак Барроу стверджував, що теорема Торрічеллі обмежила загальне висловлювання Арістотеля (з книги 1, частини 6 праці Про небо), згідно з яким «не існує пропорції між скінченним і нескінченним». Власне, сам Арістотель, строго кажучи, доводив неможливість фізичного існування нескінченного тіла, а не його неможливість як геометричної абстракції. Барроу дотримувався тогочасного погляду XVII століття, що висловлювання Арістотеля та інші геометричні аксіоми походять (як він зазначав у 7-й лекції) з «певної вищої та універсальної науки», яка є фундаментом як для математики, так і для фізики. Таким чином, демонстрація Торрічеллі об'єкта, що має співвідношення між скінченним (об'ємом) та нескінченним (площею), суперечила цьому твердженню, принаймні частково. Пояснення Барроу полягало в тому, що висловлювання Арістотеля все ще залишалося чинним, але лише у більш обмежений спосіб — при порівнянні об'єктів одного типу: довжини з довжиною, площі з площею, об'єму з об'ємом і так далі. Воно не діяло при порівнянні речей двох різних родів (наприклад, площі з об'ємом), і, таким чином, нескінченна площа могла бути пов'язана зі скінченним об'ємом.
Інші використовували теорему Торрічеллі для підкріплення власних філософських тверджень, які з сучасного погляду не мають безпосереднього стосунку до математики. у 1671 році використовував гостре гіперболічне тіло (труба Торрічеллі), щоб довести, що скінченні люди здатні осягнути нескінченність, і згодом навів це як доказ існування Бога та нематеріальних душ. Парді стверджував: оскільки скінченна матерія не може осягнути нескінченне, той факт, що люди здатні зрозуміти цей математичний доказ, свідчить про те, що людина є чимось більшим за матерію і має нематеріальну душу. На противагу йому, Антуан Арно доводив, що оскільки люди бачать тут парадокс, людське мислення є обмеженим у своїх можливостях, а отже — не здатне спростувати божественні, релігійні істини.
Суперечка між Гоббсом і Воллісом насправді відбувалася в межах математики: Волліс із захопленням приймав нові поняття нескінченності та неподільних, робив подальші висновки на основі праць Торрічеллі й розвивав їх, переходячи від геометричних аргументів Торрічеллі до арифметичних; натомість Гоббс твердив, що оскільки математика походить від сприйняття реального світу скінченних речей, то «нескінченне» в математиці може означати лише «невизначене». Це призвело до різко сформульованих листів обох до Лондонського королівського товариства та до журналу Philosophical Transactions; у певний момент Гоббс навіть удався до образ, назвавши Волліса «божевільним». У 1672 році Гоббс намагався переосмислити теорему Торрічеллі як таку, що стосується скінченного тіла, протяжного на невизначену довжину, намагаючись зберегти своє переконання, що «природне світло» (тобто здоровий глузд) підказує нам: річ, нескінченно довга, мусить мати нескінченний об'єм. Це узгоджувалося й з іншими твердженнями Гоббса про хибність використання в геометрії поняття лінії нульової ширини та про необґрунтованість ідеї неподільних Кавальєрі. Волліс стверджував, що існують геометричні фігури зі скінченною площею чи об'ємом, але без центра ваги, спираючись на праці Торрічеллі; при цьому він зазначав, що розуміння цього потребує більшого володіння геометрією та логікою, «ніж те, яким володіє пан Гоббс». Він також перебудував ці аргументи в арифметичних термінах — як суми арифметичних прогресій, послідовностей арифметичних нескінченно малих величин, а не послідовностей геометричних неподільних.
Орем уже продемонстрував, що нескінченно довга фігура може мати скінченну площу в тих випадках, коли один вимір прямує до нескінченно великого значення, а інший — до нескінченно малого. За словами самого Барроу, «нескінченне зменшення одного виміру компенсує нескінченне збільшення іншого», у випадку з гострим гіперболічним тілом це описується рівнянням гіперболи Аполлонія .
Парадокс маляра Оскільки труба має скінченний об'єм, але нескінченну площу поверхні, виникає уявний парадокс: трубу можна наповнити скінченною кількістю фарби, але цієї фарби нібито не вистачить, щоб пофарбувати всю її поверхню. Однак цей парадокс знову ж таки є лише уявним і зумовлений неповним означенням поняття «фарба» або ж використанням суперечливих означень фарби для дій наповнення та фарбування.
Можна постулювати «математичну» фарбу, яка є нескінченно подільною (або може бути нескінченно розведеною, або ж має нульову товщину — подібно до геометричних ліній нульової товщини, проти яких заперечував Гоббс) і здатна поширюватися з нескінченною швидкістю, або ж «фізичну» фарбу з властивостями фарби реального світу. У будь-якому з цих випадків уявний парадокс зникає:
За наявності «математичної» фарби з самого початку не випливає, що нескінченна площа поверхні потребує нескінченного об'єму фарби, оскільки добуток нескінченної площі поверхні на фарбу нульової товщини є невизначеним.
З фізичною фарбою фарбування зовнішньої поверхні тіла вимагало б нескінченної кількості фарби, оскільки фізична фарба має ненульову товщину. Теорема Торрічеллі не стосується шару скінченної товщини на зовнішній поверхні тіла, який насправді мав би нескінченний об'єм. Отже, між нескінченним об'ємом фарби та нескінченною площею поверхні, яку потрібно покрити, немає суперечності. Так само неможливо пофарбувати внутрішню частину тіла — тобто скінченний об'єм, що фігурує в теоремі Торрічеллі, — фізичною фарбою, тож і тут жодної суперечності не виникає. Це пов'язано з тим, що фізична фарба може заповнити лише наближення до об'єму тіла. Молекули не заповнюють тривимірний простір повністю, залишаючи проміжки, і існує точка, в якій «горло» тіла стає занадто вузьким, щоб молекули фарби могли протікати далі.