Добуток Хатрі-Рао () — матрична операція перемноження матриць, що визначається виразом:
в якому ij-й блок являє собою добуток Кронекера відповідних блоків A і B за умови, що кількість рядків і стовпців обох матриць однакова. Розмірність добутку — .
Наприклад, якщо матриці A і B мають блокову розмірність
отримаємо:
Стовпцевий добуток Хатрі-Рао
Стовпцевий добуток Кронекера двох матриць також прийнято називати добутком Хатрі-Рао. Цей добуток передбачає, що блоки матриць є їх стовпцями. В такому випадку , , і для кожного j: . Результатом добутку є - матрица, кожен стовпець якої отримується як добуток Кронекера відповідних стовпців матриць A і B. Спираючись на розбиття матриць з попереднього прикладу на стовпці, отримаємо:
і далі:
Застосування Стовпцева версія добутку Хатрі-Рао застосовується в лінійній алгебрі для аналітичної обробки данихSee e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283–307, 2015. і оптимізації рішень проблеми обернення діагональних матриць.
В 1996 р. стовпцевий добуток Хатрі-Рао був запропонований для формалізації задачі оцінювання напрямку приходу та часу затримки сигналів в цифровій антенній решітці, а також для опису відгуку 4-координатного радара.
Торцевий добуток
Альтернативна концепція добутку матриць, яка на відміну від стовпцевої версії добутку Хатрі-Рао використовує розбиття матриць на рядки, була запропонована Слюсарем В. І.Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 в 1996 р. і названа ним торцевий добуток () або транспонований добуток Хатрі-Рао ().
Цей тип матричного добутку спирається на перемноження елементів рядків двох і більше матриць з однаковою кількістю рядків за правилом добутку Кронекера. Використовуючи розбиття матриць з попередніх прикладів на рядки:
можна записати:
Основні властивості
Наприклад,
та інші. Крім того, Слюсарем В. І. були запропоновані блокові версії транспонованого добутку та досліджені їх властивості.
Блоковий торцевий добуток
Для блокових матриць з однаковою кількістю рядків у відповідних блоках
згідно з визначенням, блоковий торцевий добуток запишеться у вигляді:
.
Аналогічно для блокового транспонованого торцевого добутку (або блокового стовпцевого добутку Хатрі-Рао) двох матриць з однаковою кількістю стовпців у відповідних блоках справедливо:
.
Основні властивості
Застосування Родина торцевих добутків матриць стала основою започаткованої Слюсарем В. І. тензорно-матричної теорії цифрових антенних решіток для радіотехнічних систем, яка надалі отримала розвиток як частина теорії цифрової обробки сигналів.
Торцевий добуток набув широкого поширення в системах машинного навчання, статистичній обробці великих даних. Він дозволяє скоротити обсяги обчислень при реалізації методу зменшення розмірності даних, що одержав назву тензорний скетч а також швидкого перетворення Джонсона — Лінденштрауса. При цьому здійснюється перехід від матриці великої розмірності до добутку Адамара, що оперує матрицями меншого розміру. Похибки апроксимації данних великої розмірності на основі торцевого добутку матриць задовольняють лемі Джонсона — Лінденштрауса. У тому ж контексті ідея торцевого добутку може бути використана для вирішення завдання диференційної приватності (). Крім того, аналогічні обчислення були застосовані для формування тензорів співпадань в задачах обробки природної мови і побудови гіперграфів подібності зображеньBryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv .
Торцевий добуток використаний у 2003 р. для P-сплайн апроксимації, у 2006 р. — для побудови узагальнених лінійних моделей масивів даних (GLAM) при їх статистичній обробці, а також для ефективної реалізації ядрових методів машинного навчання та дослідження взаємодії генотипів з оточуючим середовищемJohannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. .
Див. також Добуток Кронекера Тензорний скетч Лема Джонсона-Лінденштрауса
Примітки
Джерела
Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.