Теорема Гассе про еліптичні криві (,  – рамки Гассе) дає верхню та нижню оцінки кількості точок на еліптичній кривій над скінченним полем.

Нехай  – кількість точок на еліптичній кривій над скінченним полем з елементів, Гельмут Гассе показав, що

В якості гіпотези цю оцінку висунув Еміль Артін в 1924 році. Вона була доведена Гассе в 1933 році, доведення було опубліковано в серії статей у 1936 році.

Теорема Гассе еквівалентна визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції Е. У цьому вигляді її можна розглядати як аналог гіпотези Рімана для , асоційованого з еліптичною кривою.

Рамки Гассе — Вейля

Узагальненням рамок Гассе для алгебраїчних кривих вищого роду є рамки Гассе — Вейля. Вони встановлюють обмеження на кількість точок кривої над скінченним полем. Нехай  – кількість точок кривої роду над скінченним полем , тоді

Цей результат також еквівалентний визначенню абсолютного значення коренів локальної дзета-функції , і є аналогом гіпотези Рімана для поля функцій, асоційованого з кривою.

Рамки Гассе — Вейля зводяться до звичайних рамок Гассе при застосуванні до еліптичних кривих, бо вони мають рід .

Рамки Гассе — Вейля є наслідком гіпотез Вейля, висунутих Андре Вейлем у 1949 році. — MR 0029393. Ці гіпотези були доведені в 1974 році П'єром Делінем. — MR 340258.

Див. також Алгоритм Шуфа

Примітки

Джерела

Chapter V of