В теорії вузлів бруннове зачеплення — це нетривіальне зачеплення, яке розпадається при видаленні будь-якої з компонент. Іншими словами, розрізування будь-якого (топологічного) кільця розчіплює всі інші кільця (отже, жодні два з кілець не зчеплені, як у зачепленні Гопфа).
Брунновими такі зачеплення названо на честь , який у статті 1892 року Über Verkettung навів їх приклади.
Приклади
Найвідомішим і найпростішим брунновим зачепленням є кільця Борромео — зачеплення трьох кілець. Однак для будь-якого числа, починаючи з трьох, існує нескінченне число бруннових зачеплень, що містить таке число кілець. Існує декілька відносно простих зачеплень з трьох компонент, які не еквівалентні кільцям Борромео:Найпростіше бруннове зачеплення, відмінне від кілець Борромео (які мають 6 перетинів), напевно, з 10 перетинамиDror Bar-Natan (2010-08-16). «All Brunnians, Maybe », [Academic Pensieve]..
Приклад n-компонентного бруннового зачеплення — це бруннове зачеплення «гумових кілець» , де кожна компонента охоплює попередню за схемою aba−1b−1 і останнє кільце зачіпляється за перше, утворюючи цикл.
Класифікація Бруннові зачеплення описав з точністю до гомотопії Джон Мілнор у статті 1954 року, і інваріанти, запроваджені ним, тепер називаються інваріантами Мілнора
(n + 1)-компонентне зачеплення можна розуміти як елемент n незачеплених компонент (група зачеплення в цьому випадку є фундаментальною групою доповнення зачеплення). Група зачеплення n незачеплених компонент є вільним добутком n твірних, тобто вільною групою Fn.
Не будь-який елемент групи Fn породжує бруннове зачеплення. Мілнор показав, що група елементів, відповідних брунновим зачепленням, пов'язана з нижнього центрального ряду вільної групи, і її можна розуміти як «співвідношення» у вільній алгебрі Лі.
Добутки Массі Бруннові зачеплення можна розуміти зо допомогою : добуток Массі — це n-членний добуток, який визначений тільки якщо всі (n − 1)-членні добутки перетворюються на нуль. Це відповідає властивості бруннового зачеплення, в якому всі набори з (n − 1) компонент не зчеплені, але всі n компонент разом утворюють нетривіальне зачеплення.
Бруннові коси
Бруннова коса — це коса, яка стає тривіальною після видалення будь-якої з її ниток. Бруннові коси утворюють підгрупу в групі кіс. Бруннові коси на сфері, які не є брунновими на (плоскому) крузі, дають нетривіальні елементи в групах гомотопій сфери. Наприклад, «стандартна» коса, відповідна кільцям Борромео, дає розшарування Гопфа S3 → S2, і продовження такого плетива також дає бруннову косу.
Приклади з реального світу Багато головоломок на розплутування та деякі механічні головоломки є варіантами бруннових зачеплень, і їх метою є звільнення якогось елемента, частково пов'язаного з іншою частиною головоломки.
Бруннові ланцюжки використовуються для створення декоративних прикрас з гумових кілець за допомогою пристроїв типу або .
Примітки
Література . Hermann Brunn, «Über Verkettung», J. Münch. Ber, XXII. 77-99 (1892). JFM 24.0507.01
Dale Rolfsen (1976). Knots and Links. Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0.
Посилання «Are Borromean Links so Rare?», by Slavik Jablan (оригінал у журналі Forma тут ). Brunnian_link Knot Atlas