Стала Каталана () — число, що зустрічається в різних застосуваннях математики, зокрема, в комбінаториці. Найчастіше позначається літерою G, рідше — K або C. Може бути визначена як сума нескінченного знакозмінного ряду:
Її числове значення наближено дорівнює:
G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … ()
Невідомо, чи є G раціональним, чи ірраціональним числом.
Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана.
Зв'язок з іншими функціями Стала Каталана є частковим випадком :
Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму
Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції) дробових аргументів
так що
Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією , і сталою Каталана G.
Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення і гамма-функції:
Інтегральні подання Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:
Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтеграла першого роду K(x),
Швидко збіжні ряди Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:
і
Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формулиB. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985) і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формулиD. J. Broadhurst, «Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)», (1998) arXiv math.CA/9803067. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. КарацубаE.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J.W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001).
Ланцюгові дроби Ланцюговий дріб сталої Каталана () має такий вигляд:
Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:
Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
Обчислення десяткових цифр Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмівX. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation. +Число відомих значущих цифр сталої Каталана G ДатаЧисло значущих цифрАвтори обчислення186514Ежен Шарль Каталан187720191332Джеймс Вітбред Лі Глейшер1990Грег Фі (Greg J. Fee)1996Грег Фі1996, 14 серпняГрег Фі і 1996, 29 вересняТомас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)1996Томас Папаніколау1997Патрік Демішель (Patrick Demichel)1998, 4 січняКсав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)2001Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)2002Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа2006, жовтеньШиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)2008, серпеньШиґеру Кондо і Стів ПальярулоConstants and Records of Computation2009, 31 січняАлександер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)Large Computations2009, 16 квітняАлександер Йї і Реймонд Чен
Див. також Дзета-функція Рімана Бета-функція Діріхле
Примітки
Посилання Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant
Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993) Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi², (1999)
Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)