Задача про стопку цегли також відома як проблема укладання блоків (), похила вежа лір (), задача про складання книг і т. ін. — задача статики, яка полягає в укладанні прямокутних блоків у вежу, якомога далі похилену вбік.

Формулювання Задача формулюється так: Поставити один на один однакових твердих прямокутних паралелепіпедів, зібравши стійку́ вежу на краю стола так, щоб виступ за край був максимальний

Історія

Задача про стопку цегли має довгу історію як у механіці, так і в математиці. У своїх статтях і його співавтори надають довгий список посилань на цю задачу, про яку йдеться в працях з механіки, що відносяться до середини XIX століття.

Розв'зання

З тільки одним блоком на кожному рівні В ідеальному випадку з тільки одним ідеально прямокутним блоком на кожному рівні звисання дорівнює ширини блокаТут  — номер блоку; нумерація ведеться починаючи з верхнього.. Ця сума становить половину часткової суми гармонічного ряду. Оскільки гармонічний ряд розбіжний, максимальне звис прямує до нескінченності з ростом , тобто, за достатньої кількості блоків, можна досягти як завгодно великого звису. В кожному конкретному випадку максимальний звис приблизно дорівнює , тобто пропорційний натуральному логарифму числа блоків.NМаксимальний звисДрібДесятковий записВідносний розмір11/2 23/4 311/12 ~425/24 ~5137/120 ~649/40 7363/280 ~8761/560 ~97 129/5 040 ~107 381/5 040 ~

NМаксимальний звисДрібДесятковий записВідносний розмір1183 711/55 440 ~1286 021/55 440 ~131 145 993/720 720 ~141 171 733/720 720 ~151 195 757/720 720 ~162 436 559/1 441 440 ~1742 142 223/24 504 480 ~1814 274 301/8 168 160 ~19275 295 799/155 195 040 ~2055 835 135/31 039 008 ~ NМаксимальний звисДрібДесятковий записВідносний розмір2118 858 053/10 346 336 ~2219 093 197/10 346 336 ~23444 316 699/237 965 728 ~241 347 822 955/713 897 184 ~2534 052 522 467/17 847 429 600 ~2634 395 742 267/17 847 429 600 ~27312 536 252 003/160 626 866 400 ~28315 404 588 903/160 626 866 400 ~299 227 046 511 387/4 658 179 125 600 ~309 304 682 830 147/4 658 179 125 600 ~

З кількома блоками на будь-якому з рівнів

Додаткові блоки на рівні можуть використовуватися як противага і давати більше звисання, ніж варіант з одним блоком на рівні. Навіть для трьох блоків, укладання двох зрівноважених блоків поверх іншого блока, може дати звис в один блок, тоді як у простому ідеальному випадку — не більше . У 2007 році Майк Патерсон зі співавторами показали, що максимальний звис, якого можна досягти за допомогою декількох блоків на рівні, асимптотично дорівнює , тобто пропорційний кубічному кореню з числа блоків, на відміну від простого випадку, коли звис пропорційний логарифму кількості блоків.

Див. також Черв'яки Патерсона

Примітки

Посилання