Теорема про метелика — це класична теорема геометрії Евкліда, яку можна сформулювати такJohnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).:
Нехай — середина хорди кола, через яку проведено дві інші хорди і ; хорди і перетинають хорду у точках і відповідно. Тоді — середина відрізка .
Доведення
Формальне доведення теореми таке: Нехай з точки опущено перпендикуляри і на прямі і відповідно. Аналогічно, нехай з точки опущено перпендикуляри і на прямі і відповідно.
Оскільки має місце подібність трикутників за трьома кутами, то
Аналогічно, будуть подібні трикутники
тому виконується
Також, будуть подібні трикутники
звідки
І, насамкінець, з подібності
тому
З попередніх рівнянь і теореми про відрізки хорд, що перетинаються, видно, що
оскільки . Тому
Використавши основну властивість пропорції, маємо, що
Звівши подібні доданки
з обох сторін отриманого рівняння, отримаємо
Отже, , оскільки довжини MX, MY та PM — це додатні дійсні числа. Таким чином, — середина .
Існують інші доведенняMartin Celli, «A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings», Forum Geometricorum 16, 2016, 337—338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf , зокрема той, що використовує методи проективної геометрії , problem 8..
Історія Доведення теореми про метелика було представлено як розв'язок задачі у «The Gentlemen's Mathematical Companion» (1803). Три рішення були опубліковані в 1804 році, і в 1805 році сер Вільям Гершель знову поставив задачу в листі до Уоллеса. Преподобний Томас Скарр знову поставив те саме запитання в 1814 році в Gentlemen's Diary or Mathematical RepositoryWilliam Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem , cut-the-knot, retrieved 2015-05-07..
Примітки
Посилання
Теорема про метелика Краща теорема про метелика Доведення теореми про метелика на PlanetMath Теорема про метелика Джея Варендорфа