Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння
має не більше ніж скінченне число розв'язків з різними трійками значень , де — взаємно прості натуральні числа, а — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню
Відомі розв'язки
На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:.
Розв'язок — це єдиний розв'язок, у якому одне з дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році .
Всі розв'язки знайдено для трійок показників рівних .
Часткові результати За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних , які задовольняють нерівності , існує не більше ніж скінченне число трійок , що задовольняють рівнянню , але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок .
abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана.
Гіпотеза Біла полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.
Примітки
Посилання
Література