Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.
Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.
Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.
Рівняння Рівняння потоку Річчі має вигляд:
де позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра ), і — її тензор Річчі.
Властивості Формально кажучи, система рівнянь , що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь , запропонована , така, що якщо ріманова метрика на компактному многовиді і , — розв'язок систем і , то ізометричне для всіх . Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка». Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови , можна отримати розв'язок лише в один бік , а саме . На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при . Розв'язок продовжується на максимальний інтервал . У разі якщо скінченне, за наближення до кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона. Псевдолокальність — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.
Зміна геометричних характеристик Для об'єму метрики істинне співвідношення
Для скалярної кривини метрики істинне співвідношення
де визначається як для ортонормованого репера в точці. Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини. Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.
Для кожного -ортонормованого репера в точці існує так званий супутній -ортонормований репер . Для тензора кривини , записаного в цьому базисі, істинне співвідношення
де — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них. Білінійна квадратична форма визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини приписується інший тензор кривини . Розв'язки ЗДР
відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі. Опуклі множини в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР , то за , називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому , то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі. До інваріантних множин належать: тензори кривини з додатною скалярною кривиною тензори кривини з додатним оператором кривини у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі
Розмірність 3 У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного і можна підібрати репер , в якому діагоналізується в базисі , , , скажімо,
Тоді
Історія Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.
Використовуючи потоки Річчі в своїх статтяхДив. статті Григорія Перельмана в списку літератури., опублікованих протягом 2002—2003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman's arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».
Примітки
Література Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982. Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008. J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.