У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.
Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.
Історія Евклід робив кілька посилань на дотичну ( ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (бл. 300 р. до н. е.). У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.
Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.
У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з диференціального та інтегрального числення й використав її для обчислення дотичних до параболи. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між і та поділити її на . Незалежно від нього, Рене Декарт використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.
Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів. та знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних. Подальші розробки включали роботи Джона Валліса та Ісаака Барроу, які використовувалися для створення теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.
У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її». Це старе визначення не дозволяє точкам перегину мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару нескінченно близьких точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки .
Дотична до кривої на площині
Якщо крива є графіком неперервно диференційовної функції , тобто її можна задати рівнянням то рівняння її дотичної в точці має наступний вигляд:
де — значення похідної функції у точці . Причому є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.
Нехай крива задана неявно, а саме через рівняння причому в точці функція має неперервні частинні похідні й , значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці буде таким:
Якщо крива має регулярну параметризацію, тобто її можна задати вектор-функцією де та — неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці , яка відповідає значенню параметра , має наступне векторно-параметричне рівняння:
де — дотичний вектор кривої (напрямний вектор дотичної).
Дотичні до кривих другого порядку Крива Рівняння кривої Рівняння дотичної в точці Коло Парабола Еліпс Гіпербола
Дотична до кривої у просторі Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією де , та — неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці , яка відповідає значенню параметра , має векторно-параметричне рівняння де — дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке канонічне рівняння:
Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь
де та — неперервно диференційовні функції, для яких де квадратні дужки позначають векторний добуток, а — градієнт функції . Тоді дотична в точці задається наступною системою рівнянь:
Причому є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:
де , та — координати вектора .
Дотична площина до поверхні
Дотичною площиною до поверхні в точці , де поверхню можна задати таким рівнянням що — неперервно диференційована функція, причому в точці , називається площина, яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку .
Рівняння цієї площини має наступний вигляд:
Причому в точці є напрямним вектором нормалі до дотичної площини.
Дотичний простір до гладкого многовиду
Поняття дотичної можна узагальнити на довільний гладкий многовид. Дотичним простором до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює лінійний простір, розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.
Див. також Тригранник Френе Метод дотичних Стичне коло Стична площина
Примітки
Література
Посилання