У теорії ймовірностей і статистиці нецентрований розподіл хі-квадрат (нецентрований розподіл) — це нецентроване узагальнення розподілу хі-квадрат. Він часто зустрічається при аналізі потужності статистичних тестів, в яких розподіл параметра при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом. Важливими прикладами таких тестів є тести на співвідношення правдоподібності.
Передумови Нехай - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми та одиничною дисперсією. Тоді випадкова величина
розподілена за нецентрованого хі-квадрат розподілу. У цього розподілу два параметри: який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість ) і що пов'язане із середнім значенням випадкових величин формулою:
іноді називають параметром нецентрованості. Зверніть увагу, в деяких джерелах визначають інакше, наприклад, половиною вищезазначеної суми чи квадратним коренем з неї.
Цей розподіл виникає у багатовимірній статистиці як похідна від багатовимірного нормального розподілу. Тоді як центрований хі-квадрат розподіл - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом (тобто квадрат відстані від початку координат до випадкової точки-реалізації випадкової величини, що має такий розподіл), нецентрований - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом . Тут - нульовий вектор з k елементів, і - k вимірна одинична матриця.
Означення Функція густини ймовірності (pdf) задається як
де розподілена за законом хі-квадрат з ступенями свободи.
З цього запису випливає, що нецентрований хі-квадрат розподіл є зваженою Пуассоном сумішшю центральних хі-квадрат розподілів. Нехай випадкова величина J має розподіл Пуассона із середнім значенням , та умовний розподіл Z, заданий J = i - хі-квадрат із k + 2 i ступеня свободи. Тоді безумовний розподіл Z є нецентрованим хі-квадрат розподілом з k ступенями свободи та параметром нецентрованості .
Крім того, щільність можна подати формулою
де - модифікована функція Бесселя першого роду:
Використовуючи зв'язок функції Бесселя з гіпергеометричними функціями, щільність також можна записати якMuirhead (2005) Theorem 1.3.4:
У Зіґеля (1979) описано випадок k = 0 (нуль ступенів свободи) докладно, у цьому випадку розподіл має дискретну складову в нулі.
Властивості
Твірна функція Твірна функція моментів, задається формулою
Моменти Перші кілька початкових моментів:
Перші кілька центральних моментів:
N-а кумулянта є
Отже
Функція розподілу Знову використовуючи співвідношення між центрованим та нецентрованим розподілами хі-квадрат, функцію розподілу (cdf) можна записати як
де - функція розподілу центрованого розподілу хі-квадрат із k ступенями свободи, що записується як
і де - нижня неповна гамма-функція.
Можна також скористатися Q-функцією Маркума для запису функції розподілуNuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the QM Function, IEEE Transactions on Information Theory, 21(1), 95–96,
Наближення (у тому числі для квантилів) Абдель-Аті Abdel-Aty, S. (1954). Approximate Formulae for the Percentage Points and the Probability Integral of the Non-Central χ2 Distribution Biometrika 41, 538–540. doi:10.2307/2332731 виводять (як "перше наближення") нецентроване наближення Вільсона-Гілферті:
має приблизно нормальний розподіл, тобто
що є досить точним і добре адаптовним до нецентрованості. Крім того, стає при , (центрований) хі-квадрат розподіл.
СанкаранSankaran, M. (1963). Approximations to the non-central chi-squared distribution Biometrika, 50(1-2), 199–204 описує ряд аналітичних виразів наближень функції розподілу. В своїх ранніх роботахSankaran, M. (1959). "On the non-central chi-squared distribution", Biometrika 46, 235–237 він отримав та довів наступне наближення:
де
позначає функцію розподілу стандартного нормального розподілу;
Це та інші наближення описані в його пізніших підручникахJohnson et al. (1995) Continuous Univariate Distributions Section 29.8.
Для даної ймовірності ці формули легко обернути для обчислення досить точних наближеннь відповідних квантилів.
Виведення функції щільности Виведення функції щільності ймовірності найлегше зробити, виконавши наступні кроки:
Оскільки мають одиничні дисперсії, їх спільний розподіл сферично симетричний, аж до зсуву місця. Тоді сферична симетрія означає, що розподіл залежить від середніх значень лише через квадрат довжини, . Тому, без обмеження загальности можна взяти і . Тепер обчислимо щільність (тобто k = 1 випадок). Просте перетворення випадкових величин дає
де - функція щільности стандартної нормальної випадкової величини.
Розкладемо гіперболічну функцію в ряд Тейлора. Це дає зважену за Пуассоном суміш представлення щільності, поки ще для k = 1. Індекси на випадкових величин в хі-квадрат розподілених випадкових величинах в наведеному вище ряді в цьому випадку є 1 + 2 i. Нарешті, для загального випадку. Припустимо без обмеження загальності є стандартні нормальні, отже має центрований хі-квадрат розподіл з ( k − 1) ступенями свободи, незалежна від . Використовуючи запис у вигляді Пуасонівської суміші, і той факт, що сума хі-квадрат випадкових величин має також хі-квадрат, отримуємо результат. Індексами в ряді є (1 + 2 i ) + ( k − 1) = k + 2 i як і треба показати.
Пов’язані розподіли
Якщо хі квадрат розподілена в.в.: , тоді також нецентровано хі квадрат розподілена з нульовим параметром нецентральности: Лінійна комбінація незалежних нецентральних хі квадрат розподілених випадкових величин , має узагальнений хі квадрат розподіл. Якщо і і незалежна від , тоді нецентрально <i id="mwARo">F</i>-розподілена величину можна отримати як Як , тоді Якщо , тоді - розподілена за розподілом Райса з параметром випадкова величина. Наближення нормальним розподілом: якщо , тоді за розподілом при чи . Якщо і , де - незалежні, тоді , де . Взагальному, для скінченної множини , сума цих нецентральних хі квадрат розподілених в.в. має розподіл , де . Це можна покажати використовуючи твірні функції моментів наступним чином: використовуючи незалежність випадкових величин. Далі просто підставляємо ТФМ нецентрального хі квадрат розподілу у вираз для добутку і зведенням до нової ТФМ. Або ж зважаючи на інтерпретацію у розділі Передумови як сума квадратів незалежних норомально розподілених в.в. з варіацією 1 і відповідними середніми значеннями. Комплексні нецентральні хі квадрат розподіли мають застосування у радіо зв'язку і системах радарів . Нехай - незалежні скалярні комплексні випадкові величини з нецентральною колоавою симетрією, з середніми і одиничними варіаціями: . Тоді дійснозначна випадкова величина розподілена за комплексним нецентральним хі квадрат розподілом:
де
Перетворення Санкаран (1963) описує перетворення типу . Він аналізує розклад кумулянт до порядку і доводить, що для деяких можна отримати прийнятні результати:
при друга кумулянта асимптотично не залежить від , при третя кумулянта асимптотично не залежить від , при четверта кумулянта асимптотично не залежить від .
Крім того, більш просту трансформацію можна використовувати як дисперсійно-стабілізуюче перетворення, яке дає випадкову величину із середнім значенням і дисперсією .
Використанню таких перетворень може завадити необхідність квадратного кореня з від’ємних чисел. + Різні хі та хі-квадрат розподіли Name Statistic Розподіл хі-квадрат Нецентрований хі-квадрат розподіл Розподіл Хі Нецентрований хі розподіл
Використання
Використання в довірчих інтервалах Двосторонні нормальні довірчі інтервали в регресії можна обчислити на основі нецентрованого хі-квадратрозподілу, p.32. Використовуючи його можна обчислити статистичний інтервал, в межах якого з певним рівнем довіри потрапляє певна частина вибіркової сукупності.
Примітки
Список літератури
Абрамовіц, М. та Стегун, ІА (1972), Довідник з математичних функцій, Дувр. Розділ 26.4.25. Джонсон, Нью-Йорк, Коц, С., Балакрішнан, Н. (1995), Безперервні одноваріантні розподіли, том 2 (2-е видання), Wiley. Мюрхед, Р. (2005) Аспекти багатовимірної статистичної теорії (2-е видання). Вілі. Siegel, AF (1979), "Нецентральний розподіл хі-квадрат з нульовим ступенем свободи та тестування на однорідність", Biometrika, 66, 381 – 386