Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр , такий що

Для знаковизначеної квадратичної форми (тобто або додатно визначеної, або від'ємно визначеної) конформна ортогональна група дорівнює ортогональній групі, помноженій на групу розтягів.

Конформна група сфери, породжена інверсіями відносно кіл. Ця група відома також як група Мебіуса. У евклідовому просторі , , конформна група породжується інверсіями відносно гіперсфер. У псевдоевклідовому просторі конформною групою є .

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також . У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — , яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площині.

Конформна група простору-часу 1908 року і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часу (тепер зазвичай позначається як ). Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як . Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформності. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними».

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числах. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав . Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе .

Примітка

Література

Перше видання 1974

Література для подальшого читання