Точки Торрічеллі — дві точки, з яких усі сторони трикутника видно або під кутом 60°, або під кутом 120°. Ці точки в трикутнику — «парні». Іноді ці точки називають точками Ферма або точками Ферма-Торрічеллі.
Дві точки Торрічеллі — це точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника: з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на протилежних сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі; з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих на протилежних сторонах всередину трикутника — друга точка Торрічеллі.
Властивості
Перша точка Торрічеллі — точка трикутника, з якої всі сторони видно під кутом 120° (за визначенням). Перша точка Торрічеллі має найменшу суму відстаней до вершин трикутника. Вона існує тільки в трикутниках з кутами, меншими 120°; при цьому вона єдина і, отже, є окремим випадком точки Ферма, яка існує в будь-якому трикутнику. Дві точки Торрічеллі і точка Лемуана лежать на одній прямій. Точки Торрічеллі ізогонально спряжені точкам Аполлонія. Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія та точку Торрічеллі, відмінну від ізогонально спряженої їй. Такі прямі перетнуться в точці перетину медіан (у центроїді трикутника). Теорема Лестер. У будь-якому різнобічному трикутнику дві точки Торрічеллі, центр дев'яти точок і центр описаного кола лежать на одному колі.
Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд трикутника і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їхні вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямих перетнуться в одній точці, що лежить на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників).
Зауваження На першому малюнку справа центри трьох рівносторонніх трикутників самі є вершинами нового рівностороннього трикутника (теорема Наполеона). Крім того, .
Див. також Відрізки та кола, пов'язані з трикутником Чудові точки трикутника Правильний трикутник Геометрія трикутника Коло Коло Лестер Теорема ван Обеля про трикутник Точка Ферма Точки Аполлонія
Примітки
Література
Посилання Точка Ферма Точка Торрічеллі Практичний приклад побудови точки Ферма Задача Ферма-Торрічеллі і її розвиток Дм. Єфремов. Новая геометрия треугольника 1902 рік