Q-похідна або похідна Джексона — це q-аналог звичайної похідної, який запропонував . Q-похідна обернена до q-інтегрування Джексона. Інші види q-похідної можна знайти в статті К. С. Чанга, В. С. Чанга, С. Т. Нама і Г. Дж. Кана.
Визначення Q-похідна функції f (x) визначається як
і часто записується як . Q-похідна відома також як похідна Джексона.
Формально, в термінах оператора зсуву Лагранжа в логарифмічних змінних, це рівносильно оператору
який приводить до звичайної похідної, → d ⁄ dx при q → 1.
Оператор очевидно лінійний,
Q-похідна має правило для добутку, аналогічне правилу добутку для звичайної похідної в двох еквівалентних формах
Аналогічно, q-похідна задовольняє правилу для ділення,
Є також правило, подібне до правила звичайного диференціювання суперпозиції функцій. нехай . тоді
Власна функція q -похідної — це eq(x).
Зв'язок зі звичайними похідними Q-диференціювання нагадує звичайне диференціювання з курйозними відмінностями. Наприклад, q-похідна одночлена дорівнює
,
де — q-дужка числа n. Зауважимо, що , так що звичайна похідна повертається в границі.
Для функції n-а q-похідну можна задати як:
за умови, що звичайна n-а похідна функції f існує в x = 0. Тут — q-символ Похгаммера, а — q-факторіал. Якщо функція аналітична, можна використати формулу Тейлора для визначення
Q-аналог розкладу Тейлора функції поблизу нуля:
Див. також Похідна Інтеграл Джексона
Ентропія Цалліса
Примітки
Література
J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math / 9908140 Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method, (2001),