Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику точки , і лежать на сторонах , і відповідно, то, якщо позначити , і , орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами , і відносно площі трикутника виражається співвідношенням
Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі медіани перетинаються в центроїді.
Доведення
Нехай площа трикутника дорівнює . Для трикутника і лінії , за теоремою Менелая, отримаємо:
Тоді . Тому площа трикутника дорівнює
Аналогічно, отримуємо: і .
Таким чином, площа трикутника дорівнює:
Посилання Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203. HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York. JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40 Jay Warendorff. Routh 's Theorem The Wolfram Demonstrations Project .
Routh's Theorem by Cross Products — MathPages Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.