Алгебрична поверхня — це алгебричний многовид розмірності два. У випадку геометрії над полем комплексних чисел алгебрична поверхня має комплексну розмірність два (як комплексний многовид, якщо він неособливий), а тому має розмірність чотири як гладкий многовид.
Теорія алгебричних поверхонь істотно складніша, ніж теорія алгебричних кривих (включно з компактними рімановими поверхнями, які є справжніми поверхнями (дійсної) розмірності два). Однак багато результатів отримала італійська школа алгебричної геометрії вже майже сто років тому.
Класифікація за розмірністю Кодайри У разі розмірності одиниця многовиди класифікують тільки за топологічним родом, але в розмірності два різниця між арифметичним родом і геометричним родом стає суттєвою, оскільки ми не можемо розрізнити біраціонально лише топологічний рід. Ми вводимо для класифікації поверхонь поняття .
Приклади алгебричних поверхонь (тут κ — ):
κ=−∞: проєктивна площина, квадрика в P3, кубічні поверхні, поверхня Веронезе, , лінійчаті поверхні κ=0 : , , , гіпереліптичні поверхні κ=1: κ=2: .
Інші приклади можна знайти в статті .
Перші п'ять прикладів фактично біраціонально еквівалентні. Тобто, наприклад, поле раціональних функцій на кубічній поверхні ізоморфне полю раціональних функцій на проєктивній площині, яке є полем раціональних функцій від двох змінних. Декартовий добуток двох кривих також є прикладом.
Біраціональна геометрія поверхонь Біраціональна геометрія алгебричних поверхонь багата завдяки перетворенню «роздуття» (відомому також під назвою «моноїдальне перетворення»), за якого точка замінюється кривою всіх обмежених дотичних напрямків у ній (проєктивною прямою). Деякі криві можна стягнути, але існує обмеження (індекс самоперетину має дорівнювати −1).
Властивості каже, що:
Дивізор DВизначення дивізора можна знайти в на поверхні S рясний тоді і тільки тоді, коли D2 > 0 і D•C > 0 для всіх незвідних кривих C на S .
Рясний дивізор має ту корисну властивість, що він є прообразом дивізора гіперплощини деякого проєктивного простору, властивості якого добре відомі. Нехай - абелева група, що складається з усіх дивізорів на S. Тоді, за ,
можна розглядати як квадратичну форму. Нехай
для всіх
тоді стає чисельно еквівалентною групою класів поверхні S і
також стає квадратичною формою на , де є образом дивізора D на S. (Нижче для образу використовується буква D.)
Для рясного пучка H на S визначення
призводить до версії на поверхні: для , тобто є від'ємно визначеною квадратичною формою.
Цю теорему доведено за допомогою критерію Накаї і теореми Рімана — Роха для поверхні. Для всіх дивізорів з ця теорема істинна. Ця теорема не тільки є інструментом дослідження поверхонь, але її використовував Делінь для доведення гіпотез Вейля, оскільки вона істинна у всіх алгебрично замкнутих полях.
Базовими результатами в теорії алгебричних поверхонь є теорема Ходжа про індекс і розбиття на п'ять груп класів раціональної еквівалентності, відоме як або класифікація алгебричних поверхонь. Клас загального типу з 2 дуже великий (наприклад, у ньому містяться неособливі поверхні степеня 5 і вище в P3).
Існує три основних числових інваріанти Ходжа для поверхні. Серед них h1,0, який називається іррегулярністю і позначається як q, і h2,0, який називається геометричним родом pg. Третій інваріант, h1,1, не є , оскільки роздуття може додати повні криві з класу H1,1. Відомо, що є алгебричними і що збігається з гомологічною еквівалентністю, так що h1,1 є верхньою межею для ρ, рангу . Арифметичний рід pa дорівнює різниці: геометричний рід — іррегулярність.
Цей факт пояснює, чому іррегулярність так названо, оскільки є свого роду «залишковим членом».
Див. також Раціональна поверхня
Примітки
Література
Посилання Вільна програма SURFER для візуалізації алгебричних поверхонь SingSurf — інтерактивний 3D-переглядач алгебричних поверхонь. Page on Algebraic Surfaces started in 2008 Overview and thoughts on designing Algebraic surfaces