У планіметрії ізотомічним спряженням називають одне з перетворень площини, що породжується заданим на площині трикутником .
Визначення
Нехай дано трикутник , у якого — середина сторони , — середина і — середина сторони . Нехай також на площині вибрано довільну точку , яка не лежить на прямих, що містять його сторони. Тоді розглянемо прямі , і . Нехай вони перетинають прямі, що містять протилежні сторони трикутника, відповідно в точках , і (якщо прямі виявляться паралельними, точкою перетину вважається нескінченно віддалена точка прямої). Згідно з теоремою Чеви, . Якщо тепер точки , і симетрично відбити відносно , і відповідно, вийдуть точки , і (нескінченно віддалена точка переходить сама в себе). Оскільки , і так само для інших пар точок, отримуємо і, згідно з тією ж теоремою Чеви, прямі , і перетинаються в одній точці . Ця точка називається ізотомічно спряженою точці відносно трикутника .
Ізотомічне спряження встановлює взаємно-однозначну відповідність між точками площини з виключеними прямими , і . На цих прямих відповідність не є взаємно-однозначною, так будь-якій точці прямої відповідає вершина (і навпаки, вершині — будь-яка точка ) тощо.
Координати Якщо барицентричні координати точки дорівнюють , то барицентричні координати ізотомічно спряженої їй точки дорівнюють .
Якщо трилінійні координати точки дорівнюють , То трилінійні координати ізотомічно спряженої їй точки дорівнюють .
Інше визначення Якщо замість симетричної чевіани взяти чевіану, основа якої віддалена від середини сторони так само, як і основа початкової, то такі чевіани також перетнуться в одній точці. Отримане перетворення називають ізотомічним спряженням. Воно також переводить прямі в описані коніки. Під час афінних перетворень ізотомічно спряжені точки переходять в ізотомічно спряжені. За ізотомічного спряження в нескінченно віддалену пряму перейде описаний еліпс Штейнера.
Властивості Ізотомічне спряження є симетрією, тобто його квадрат тривіальний. Нерухомими точками (тобто такими, що переходять самі в себе) ізотомічного спряження є центроїд (інші назви: барицентр або центр мас, тобто точка перетину медіан) трикутника і точки, симетричні вершинам трикутника відносно середин протилежних сторін. Точки Жергонна і Наґеля ізотомічно спряжені. Точці Лемуана (точці перетину симедіан) трикутника ізотомічно спряжена його точка Брокара. Точці перетину бісектрис (інцентру) ізотомічно спряжена точка перетину антибісектрис. Прямі загального положення відносно трикутника за ізотомічного спряження переходять в описані навколо нього коніки, і навпаки.
Див. також Ізогональне спряження
Посилання А. Г. Мякішев «Елементи геометрії трикутника», М., МЦНМО, 2002 Е. А. Куланін, А. Г. Мякішев «Про деякі кониках, пов'язаних з трикутником»