У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.
Означення Нехай K є деяким полем, V — скінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і — групу оборотних елементів цієї алгебри.
Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.
Для можна ввести лінійне відображення задане як
Якщо є анізотропним елементом (тобто ), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, і . Тоді Якщо ж вектор є ортогональним до , то для добутку Кліффорда і Тобто у цьому випадку звуження на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до . Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо . Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.
Група Кліфорда є за означенням множиною оборотних елементів алгебри Кліфорда для яких
, для всіх
Спеціальна група Кліфорда (позначається або ) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.
Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.
Властивості Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.
Якщо елемент то і Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як то для тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K*. Образом групи Кліфорда при відображенні є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні є спеціальна ортогональна група.
Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для спінорна норма є рівною і для всіх також Тоді, якщо то Тобто є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать і згідно теореми Картана — Дьєдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то є сюр'єктивним.
На основі попередніх властивостей одержуються точні послідовності:
Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.
Див. також
Алгебра Кліфорда Ортогональна група Спеціальна ортогональна група Спінорна група
Література