Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка — це точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.
На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.
Ідеальні точки разом утворюють або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини.
Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою.
Властивості
Гіперболічна відстань між ідеальними точками і будь-якою іншою точкою або іншою точкою дорівнює нескінченності. Центри орициклів і орисфер є ідеальними точками. Два орицикли концентричні, коли вони мають один і той самий центр.
Многокутники з ідеальними вершинами
Ідеальні трикутники Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.
Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:
Всі ідеальні трикутники конгруентні. Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю. Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр. Будь-який ідеальний трикутник має площу , де дорівнює (від'ємній) кривині площини.
Ідеальні чотирикутники Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.
Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:
Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю. Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр. Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу , де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.
Ідеальний квадрат Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.
Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії.
Ідеальні n-кутники n-кутник можна розділити на ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на .
Подання в моделях гіперболічної геометрії У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.
Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.
Дискова модель Клейна Якщо дано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть в порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Дискова модель Пуанкаре Якщо задано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть у порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою
Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків , , , .
Модель півплощини Пуанкаре
У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі , наближаються до неї).
Гіперболоїдна модель У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.
Див. також
Ідеальний трикутник Нескінченно віддалена точка в інших геометріях.
Примітки
Література