Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають . Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.
Рівняння Нехай дві прямі обертаються навколо точок і , так що пряма, що обертається навколо , утворює з віссю кут , а та, що обертається навколо , утворює кут . Нехай — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці дорівнює . За теоремою синусів
, так що в полярній системі координат це дасть .
Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.
У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:
.
Якщо початок координат зсунути в , то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на
і крива стає прикладом .
Властивість трисекції Для заданого кута малюємо промінь з так, щоб кут з віссю становив . Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю дорівнює .
Чудові точки і властивості Крива має перетин з віссю x у точці і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма є асимптотою. Крива перетинає пряму в точках , що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.
Зв'язок з іншими кривими Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:
Вона є інверсією гіперболи відносно одиничного кола
.
Вона є цисоїдою кола
і прямої відносно початку координат.
Вона є подерою параболи відносно початку координат
.
До того ж,
Інверсія відносно точки є . Трисектриса Маклорена пов'язана з декартовим листом афінним перетворенням.
Література
Посилання
Трисектриса Маклорена у списку знаменитих кривих MacTutor Трисектриса Маклорена на 2dcurves.com Трисектриса Маклорена в Наочному словнику плоских кривих Трисектриса Маклорена на сайті Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI