В математиці стала Гаусса (позначається як ) визначається як обернене середнє арифметико-геометричне з 1 та квадратного кореня з 2:
Стала була названа на честь Карла Фрідріха Гаусса, який у 1799 роціNielsen, Mikkel Slot. (July 2016). Undergraduate convexity : problems and solutions. p. 162. ISBN 9789813146211. OCLC 951172848. довів, що
а отже
де позначає бета-функцію.
Зв'язок з іншими сталими Стала Гаусса може бути використана для обчислення гамма-функції при значенні аргументу :
Альтернативний варіант:
і, оскільки та алгебраїчно незалежні, то стала Гаусса є трансцендентною.
Лемніскатні сталі Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.
Гаусс та інші використовували еквівалентний запис:
який є лемніскатною сталою.
Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" та :
Вони виникають при знаходженні довжини дуги лемніскати Бернуллі. та є трансцендентними, що було доведено відповідно у 1937 та 1941 роках.
Інші формули Формула для у термінах тета-функцій Якобі має наступний вигляд:
а також у вигляді швидкозбіжного ряду:
Стала також задається нескінченним добутком
Аналогічно за формулою Валліса:
А також вона випливає з визначених інтегралів:
Стала Гаусса у вигляді ланцюгового дробу має вигляд . ().
Див. також Лемніскатна еліптична функція
Література
Примітки
Sequences A014549 and A053002 in OEIS
Зовнішні посилання