Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.
Дана процедура дозволяє визначити комплексне число, кватерніон, октоніон, седеніон і т.д.
Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.
Кватерніони Довільний кватерніон можна представити у вигляді
або
де — комплексні числа.
Позначимо ще один кватерніон як
Перемноживши кватерніони, отримаємо: — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.
Оскільки
то переставимо множники і отримаємо:
Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду , що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.
Загальний випадок Якщо для деяких чисел та існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як
то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел : — закон множення пар, — спряжена пара.
Властивості Норма впорядкованої пари: — рівна нулю тільки при a=b=0.
Ділення визначається як чи — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля. Якщо для чисел виконується то це виконується і для впорядкованих пар:
Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова альтернативності, то вони утворюють нормовану алгебру, оскільки:
Узагальнення Шафера Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).
Джерела