Логарифмічний розподіл в теорії імовірності — клас дискретних розподілів, що використовується в різних додатках, включаючи математичну генетику і фізику.
Означення
Нехай розподіл випадкової величини задається функцією ймовірності:
, де .
Тоді кажуть, що має логарифмічний розподіл з параметром . Пишуть: . Функція розподілу випадкової величини кусково-постійна зі стрибками в натуральних точках: , де — неповна бета-функція.
Зауваження
Те, що функція дійсно є функцією ймовірності деякого розподілу, випливає з розкладу логарифма в ряд Тейлора:
, звідки .
Моменти
Твірна функція моментів випадкової величини задається формулою , звідки ,
Зв'язок з іншими розподілами Пуассонівська сума незалежних логарифмічних випадкових величин має від'ємний біноміальний розподіл. Нехай послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, таких що . Нехай — Пуассонівська випадкова величина. Тоді
Див. також Вироджений розподіл
Література