Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактністьБураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5).
Нерівність названа на честь та Михайла Громова.
Формулювання Нехай — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто
для сталої .
Позначимо через кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.
Нехай позначає n-вимірний модельний простір. Тобто — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини . Таким чином,
є n-сферою радіуса , якщо , або n-вимірним евклідовим простором, якщо , або гіперболічним простором з кривиною .
Тоді для будь-яких і функція
не зростає в інтервалі .
Зауваження
При нерівність можна записати так
при .
Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що
Цю версію вперше довів БішопBishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256.
Див. також Теорема Маєрса
Примітки