Двоїстість у теорії категорій — співвідношення між властивостями категорії і так званими двоїстими властивостями двоїстої категорії . Взявши твердження щодо категорії і помінявши місцями образ і прообраз кожного морфізму, як і порядок застосування морфізмів, отримаємо двоїсте твердження, що стосується категорії . Принцип двоїстості полягає в тому, що дійсні твердження після такої операції переходять у дійсні, а хибні — в хибні.
Формальне визначення Мова теорії категорій визначається як мова першого порядку з двома видами символів — об'єктами та морфізмами, з властивістю об'єкта бути образом або прообразом морфізму, а також із символом для композиції морфізмів.
Нехай — будь-яке слово мови. Двоїсте йому слово утворюється за такими правилами:
поміняти місцями всі «образи» на «прообрази» , обернути порядок композиції морфізмів, тобто всі входження замінити на .
Іншими словами, необхідно обернути всі стрілки та переставити аргументи всіх композицій.
Двоїстість — це спостереження, що виконується в деякій категорії тоді й лише тоді, коли виконано в .
Приклади
Морфізм — мономорфізм, коли з випливає . Застосувавши операцію двоїстості, отримуємо твердження про те, що з випливає . Для морфізму , це означає точно те, що — епіморфізм. Отже, властивість «бути мономорфізмом» двоїста властивості «бути епіморфізмом». Границя і кограниця — двоїсті поняття. Початковий об'єкт та термінальний об'єкт — двоїсті поняття.
Література