У багатовимірній статистиці узага́льнена диспе́рсія (), на додачу до , є одним з ключових показників загального розсіювання багатовимірного набору даних (з змінними ). При порівнянні узагальнених дисперсій двох різних загальних сукупностей можливо, що одна сукупність має більшу узагальнену дисперсію, ніж інша, але все ж меншу загальну дисперсію.
Узагальнену дисперсію визначають через визначник коваріаційної матриці. Поняття узагальненої дисперсії запровадив .
Визначення
Для коваріаційної матриці загальної сукупності узагальнену дисперсію визначають як її визначник, тобто,Alvin C. Rencher: Methods of multivariate analysis. Vol. 492. John Wiley & Sons, 2003. S. 73.
.
І навпаки, ви́біркову узагальнену дисперсію визначають як . В цьому випадку подає .
Геометрична інтерпретація
Ви́біркова узагальнена дисперсія має геометричну інтерпретацію. Розширення еліпса на понад два виміри називають гіпереліпсоїдом. p-вимірний гіпереліпсоїд з центром в та на основі для стандартизації відстані до центру містить підмножину спостережень вибірки. Еліпсоїд має осі, пропорційні квадратним кореням з власних значень ви́біркової коваріаційної матриці. Можливо показати, що об'єм цього еліпсоїда пропорційний .
Примітки