В абстрактній алгебрі впорядковане кільце — це (зазвичай комутативне) кільце із порядком таке, що для всіх , і у :
якщо , тоді . якщо та , тоді .
Приклади
Впорядковані кільця знайомі з арифметики. Приклади включають цілі, раціональні та дійсні числа. (раціональні та дійсні числа утворюють впорядковані поля) Комплексні числа, навпаки, не утворюють впорядкованого кільця чи поля, оскільки між елементами та немає властивого порядку зв'язку.
Додатні елементи
За аналогією з дійсними числами, ми називаємо елемент впорядкованого кільця додатним, якщо , і від'ємним, якщо . не вважається ні додатним, ні від'ємним.
Множину додатних елементів впорядкованого кільця часто позначають . Альтернативна нотація, якій віддають перевагу в деяких дисциплінах, полягає у використанні для набору невід'ємних елементів і для набору додатних елементів.
Абсолютна величина
Якщо — елемент упорядкованого кільця , то абсолютна величина (позначається ) визначається так:
де є протилежним до елементом і є нейтральним елементом.
Дискретні впорядковані кільця
Дискретне впорядковане кільце або дискретно впорядковане кільце — це впорядковане кільце, в якому немає елементів між і . Цілі числа є дискретним впорядкованим кільцем, а раціональні числа — ні.
Основні властивості
Для всіх , і у :
Якщо і , то .OrdRing_ZF_1_L9 Ця властивість іноді використовується для визначення впорядкованих кілець замість другої властивості у визначенні вище. .OrdRing_ZF_2_L5 Впорядковане кільце, яке не є , є нескінченним.ord_ring_infinite Справедливо одне з наступного: додатне, додатне або .OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp Ця властивість випливає з того факту, що впорядковані кільця є абелевими відносно додавання. У впорядкованому кільці жоден від'ємний елемент не є квадратом.OrdRing_ZF_1_L12 Це пояснюється тим, що якщо і , то і ; оскільки або додатні, має бути невід'ємним.
Див. також
Впорядковане поле — алгебраїчний об'єкт з упорядкованою структурою Впорядкована група — група із сумісним частковим порядком
— векторний простір із частковим порядком — кільце з сумісним частковим порядком — частково впорядкований топологічний простір — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка — частково впорядкований векторний простір, упорядкований як решітка
Примітки
Список нижче містить посилання на теореми, перевірені проектом IsarMathLib.